Demonstre que a forma mais eficiente de alterar a energia de uma órbita elíptica em um único empuxo breve do motor é por meio do acionamento do foguete ao longo do sentido de deslocamento no perigeu.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

Bom, vamos considerar uma velocidade de pontapé Δ v aplicada ao longo da direção de viagem, em um lugar arbitrário da trajetória orbital. Assim, tomemos as energias:

E i = E f

1 2 m v 2 - G M m r = 1 2 m v + Δ v 2 - G M m r

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para maximizarmos o ganho de energia

E f - E i = 1 2 m 2 v Δ v + Δ v 2

Para um dado Δ v , a quantidade é máxima quando v está no máximo, ou seja, no perigeu.

Passo 3

Agora consideremos uma velocidade de pontapé Δ v aplicada no perigeu:

assim a energia final é:

1 2 m v 2 2 = G M m r p

Assim será máximo para um v 2 máximo.

Portanto, a forma mais eficiente de mudar a energia de um orbita elíptica é ao acionar o foguete ao longo da trajetória do apogeu

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)