Demonstre que, se um oscilador impelido é somente ligeiramente amortecido e impelido próximo à ressonância, o valor Q do sistema é aproximadamente:

Q ≅ 2 π × E n e r g i a   t o t a l E n e r g i a   p e r d i d a   d u r a n t e   o   p e r í o d o

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos lembrar da equação, para um oscilador acionado sob amortecimento, dada por:

x t = cos ⁡ ( ω - δ )

Assim:

x ˙ t = ω D sin ⁡ ( ω t - δ )

Neste caso a energia total é:

E = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 k x 2

Por substituição nós temos:

E = 1 2 m D 2 ω 2 sin 2 ⁡ ω t - δ + ω 0 2 cos 2 ⁡ ω t - δ = 1 2 m D 2 ω 0 2

Agora, para encontrar a energia total perdida por oscilação, temos:

E c = ∫ 0 T 2 m β x ˙ x ˙   d t = 2 m D 2 β ω π

Como o tempo periódico é definido como T = 1 f = 2 π ω .

Portanto em ω = ω 0 , temos:

E E c = ω 0 4 π β

Assim:

E E c = Q 2 π

O que nos leva à equação necessária:

Q = 2 π E E c

Resposta

Q = 2 π E E c

O Q do sistema é diretamente proporcional à razão entre a energia total e a energia perdida por oscilação.