Demonstre que a série de Fourier da equação 3.89 pode ser expressa como:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ ( n ω t - Φ n )

Relacione os coeficientes c n com a n e b n da equação 3.90.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem, a gente tem a expansão de Fourier dada por:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ ( n ω t - Φ n )

Usando:

cos ⁡ θ 1 - θ 2 = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2

Nós temos:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ c n [ cos ⁡ n ω t cos ⁡ Φ n + sin ⁡ n ω t s in ⁡ Φ n ]

Comparando esta expressão com a dada na equação 3.89:

F t = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n ω t + b n s in ⁡ n ω t

Achamos que:

a n = c n cos ⁡ Φ n

e

b n = c n sin ⁡ Φ n

Que nos resulta em:

c n 2 = a n 2 + b n 2

E

tan ⁡ Φ n = b n a n  

Onde a n e b n são dadas pela equação 3.90:

a n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) cos ⁡ ( n ω t ' ) d t '

E

b n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) sin ⁡ ( n ω t ' ) d t '

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

a n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) cos ⁡ ( n ω t ' ) d t '

b n = 2 τ ∫ 0 τ F ( t ' ) sin ⁡ ( n ω t ' ) d t '