Enunciado

Derive a equação de movimento do sistema mostrado na Figura 2.88 , com a utilização dos seguintes métodos:

  1. Segunda lei do movimento de Newton;
  2. Princípio de D’Alembert
  3. Princípio do trabalho virtual.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos analisar estes itens. O item a ) nos pede para utilizar o método da segunda lei de Newton para a derivação.

Temos que, considerando o momento negativo no sentido horário:

M t = J 0 θ ¨

- 3 k θ l 4 l 4 - k θ 3 l 4 3 l 4 = J 0 θ ¨

J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

Aqui o momento de inercia de massa da barra é dado por J 0 , a rigidez da mola é k , o comprimento da barra é l , o deslocamento angular da barra é θ e a aceleração angular da barra é θ ¨ .

Portanto a equação de movimento para o sistema de acordo com a segunda lei do movimento de Newton será:

J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

Passo 2

Para o item b ) vamos utilizar o princípio de D’Alembert. Temos que:

M t - J 0 θ ¨ = 0

- 3 k θ l 4 l 4 - k θ 3 l 4 3 l 4 - J 0 θ ¨ = 0

J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

Portanto a equação de movimento para o sistema de acordo com o princípio de D’Alembert é:

J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

Passo 3

Para o item c ) vamos utilizar o princípio do trabalho virtual. Temos que o trabalho virtual realizado é dado por:

δ W s = - 3 k θ l 4 l 4 δ θ - k θ 3 l 4 3 l 4 δ θ

Sabendo que:

W = - J 0 θ ¨ δ θ

E que:

W + δ W s = 0

Temos que:

- 3 k θ l 4 l 4 δ θ - k θ 3 l 4 3 l 4 δ θ - J 0 θ ¨ δ θ = 0

Portanto a equação de movimento para o sistema de acordo com o princípio do trabalho virtual é:

J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

Resposta

a )   J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

b )   J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

c )   J 0 θ ¨ + 3 4 k l 2 θ = 0

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