Derive a expressão para os caminhos de fase do pêndulo plano se a energia total for

E   >   2 m g l . Note que este é somente o caso de uma partícula que se move em um potencial periódico U θ = m g l ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver mais exercícios, vem comigo que é sucesso.

A energia potencial para um pêndulo plano, é da seguinte forma:

U ( θ ) = m g l ( 1 - cos ⁡ θ )

E = T + U ( θ )

T = E - m g l ( 1 - cos ⁡ θ )

1 2 m v 2 = E - m g l ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 2

Como v = θ ˙ l

1 2 m θ 2 ˙ l 2 = E - m g l ( 1 - cos ⁡ θ )

θ ˙ = 2 E - m g l 1 - cos ⁡ θ m l 2

A expressão acima nos dá os possíveis caminhos representados nos diagramas de fases, basta plotarmos θ ˙ ( θ )

Resposta

θ ˙ = 2 E - m g l 1 - cos ⁡ θ m l 2