Derive uma expressão para o deslocamento de um oscilador linear análoga à Equação 3.110,

porém para as condições iniciais x t 0 = x 0 e x ˙ t 0 = x ˙ 0 .

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente temos que a solução geral desta equação é:

x t = x c t + x p ( t )

onde x p ( t ) é a solução particular e é apenas constante da equação (2) podemos ver que esta solução é a / ω 0 2 , e x c ( t ) é a solução complementar da equação homogênea x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = 0 que é dado pela equação 3.39 como:

x c = e - β t - t 0 A cos ⁡ ω 1 t - t 0 + B sin ⁡ ω 1 t - t 0  

A solução geral é, portanto:

x t = e - β t - t 0 A cos ⁡ ω 1 t - t 0 + B sin ⁡ ω 1 t - t 0   + a ω 0 2     ( 1 )

Mas agora precisamos encontrar a função de resposta com as condições iniciais de x ( t 0 ) e x ˙ t 0 = x ˙ 0 , aplique estas condições na equação (1),

x 0 = A + a ω 0 2 → A = x 0 - a ω 0 2

E da segunda condição, obtemos:

B = x ˙ 0 ω 1 + β x 0 ω 1 - β a ω 0 2 ω 1

substitua com as constantes na equação (1) para obter:

x t = e - β ( t - t 0 ) x 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 + x ˙ 0 ω 1 + β x 0 ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0     ( 2 )

+ a ω 0 2 1 - e - β t - t 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 - β ω 1 e - β t - t 0 sin ⁡ ω 1 t - t 0     ( 3 )

A solução para t > t 1 deve ser igual àquela dada por (2) para t = t 1 . Este pode ser alcançado usando como solução para H t 1 a equação 3.103 com inicial condições de iniciais x t 0 = x 0 e x ˙ t 0 = x ˙ 0 e use t 1 em vez de t 0 . Onde t 1 = t 0 + τ , assim obteremos:

x t = e - β ( t - t 0 ) x 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 + x ˙ 0 ω 1 + β x 0 ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0 + x 1 ( t )

Onde,

x 1 t = a e - β t - t 0 ω 0 2 e β r cos ⁡ ω 1 t - t 0 - τ - cos ⁡ ω 1 t - t 0 + β e β r ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0 - τ - β ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0

Agora faremos que a → ∞ com τ → 0 ,

E assim finalizamos nossa questão, assim a τ = b = c o n s t a n t e , então a equação 3 para este caso t > t 0 , se tornará:

x t = e - β ( t - t 0 ) x 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 + x ˙ 0 ω 1 + β x 0 ω 1 + b ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0

E assim finalizamos mais uma questão!

Resposta

x t = e - β ( t - t 0 ) x 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 + x ˙ 0 ω 1 + β x 0 ω 1 + b ω 1 sin ⁡ ω 1 t - t 0