Derive a solução do método de Green para a resposta causada por uma função de força arbitrária. Considere a função consistindo de uma série de funções degrau, ou seja, parta da equação 3.105 em vez da equação 3.110.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos lembrar da nossa equação 3.105 do nosso livro:

Para t > t 0 nós temos:

x ( t ) = a ω 0 1 - e - β t - t 0 cos ⁡ ω 1 t - t 0 - - β e - β t - t 0   ω 1 sin ⁡ ω ω 1 t - t 0

Considerando que a função consiste em uma série de funções degrau:

x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = ∑ n = - ∞ ∞ H n ( t )

Definindo a função:

H n t = a n ( t )               ,   t > t n = n τ 0                               , t < t n = n τ

Para t > t n temos a equação 3.105 novamente com algumas mudanças considerando a solução para a função H n ( t ) .

x n ( t ) = a ω 0 2 1 - e - β t - t 0 cos ⁡ ω 1 t - t n - - β e - β t - t n   ω 1 sin ⁡ ω ω 1 t - t n

Por tanto nós temos:

x ( t ) = 1 ω 0 2 ∑ n = - ∞ ∞ H n ( t ) 1 - e - β t - t 0 cos ⁡ ω 1 t - t n - - β e - β t - t n   ω 1 sin ⁡ ω ω 1 t - t n

Considerando que:

∑ n = - ∞ ∞ H n ( t ) = F ( t ) m

Nós temos:

x t = ∑ n = - ∞ ∞ F n ( t ) G n ( t )

Onde a função G n ( t ) é definida como:

H n t = x n t m a n             ,   t ≥ t n 0                               , t < t n

E assim a gente conclui e nossa questão, te vejo na próxima!

Resposta

H n t = x n t m a n             ,   t ≥ t n 0                               , t < t n