Desenvolva o Exemplo 7.6 mostrando todos os passos, especialmente aqueles que levam às Equações 7 .36 e 7 .41. Explique por que o sinal de aceleração a não pode afeta a frequência ω . Dê um argumento por que os sinais de a 2 e g 2 na solução de ω 2 na Equaçáo 7 .12 sáo os mesmos.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Temos que provar que:

η ' ' = - a 2 + g 2 l   η

E:

θ ' ' = g l sin ⁡ θ + a l sin ⁡ θ

Comecemos com a equação da energia:

L = m x ' 2 + y ' 2 2 + m g   y '

Substituindo as equações do exemplo 7.5, temos:

L = m 2 v 0 + a t + l θ ' cos ⁡ θ 2 + l θ ' sin ⁡ θ 2 +   m g l cos ⁡ θ

L = m 2 [ v 0 + a t 2 + 2 v 0 + a t l θ ' cos ⁡ θ + l 2   θ ' 2 + m g l cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Derivemos em θ ' , assim:

∂ L ∂ θ ' = m 2 [ 0 + 2 v 0 + a t l cos ⁡ θ )   + l 2   2 θ ' + 0

∂ L ∂ θ ' = m v 0 + a t l cos ⁡ θ + m l 2 θ '

Agora derivemos com respeito ao tempo (tomando que θ ( t )

d d t ∂ L ∂ θ ' = d d t m v 0 + a t l cos ⁡ θ + m l 2 θ '

d d t ∂ L ∂ θ ' = m l cos ⁡ θ   a - m v 0 - a t l   θ ' sin ⁡ θ + m l 2 θ ' '     ( 0.1 )

É nos dado na equação 7.38 que:

t g   θ = - g a

E usando que θ = θ ' t , assim:

∂ L ∂ θ = - m v 0 + a t l   θ ' sin ⁡ θ - m g l sin ⁡ θ                                           0.2

A lagrangiana nos diz que (0.1) é igual a (0.2). De onde temos que:

θ ' ' = g l sin ⁡ θ + a l cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Para obtermos a equação η dada no item (a), temos que partir da equação 7.40:

η ' ' = - 1 l   g cos ⁡ θ - a sin ⁡ θ   η

Se tan ⁡ θ =   - a g então temos que:

cos ⁡ θ = g g 2 + a 2       e sin ⁡ θ = a g 2 + a 2

Assim:

η ' ' = - η l cos ⁡ θ g 2 + a 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ g 2 + a 2 sin ⁡ θ

η ' ' = - η l ( g 2 + a 2   sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

∴ η ' ' = η l g 2 + a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)