Enunciado

Determinar a energia de deformação da barra prismática A B , levando em conta os efeitos das tensões normais e das tensões cisalhantes.

Passo 1

E aí, galerinha! Prontos para uma questão de energia de deformação?

Essa questão quer que a gente calcule a energia de deformação total U da barra A B .

Essa energia total U é a soma entre a energia U M causada pelo momento fletor M e a energia U P causada pela força cortante P presente na barra.

U = U M + U P

Nós calculamos U M através de uma integral (equação 10.17 do livro).

U M = ∫ 0 L M 2 2 E I   d x

onde E é o módulo de elasticidade do material da barra, I é o momento de inércia da seção transversal da barra e L é o comprimento da barra.

Já a energia U P é calculada por uma equação sem integral que se encontra abaixo. Essa equação é valida para uma força cortante P constante ao longo da barra.

U P = 3 P 2 L 5 G A

onde G é o módulo de elasticidade transversal do material da barra e A é a área da seção transversal da barra.

Agora que temos essas equações, nos falta achar quanto vale M e P para achar U . Então vamos calcular M primeiro!

Passo 2

Para calcular o momento fletor M , precisamos achar quanto vale a força de reação R A presente no ponto A da barra. Para isso, fazemos o equilíbrio de momento no ponto B . Escolhemos o ponto B , porque nesse ponto a força desconhecida R B de reação no ponto B não tem braço de alavanca e não aparece na equação de equilíbrio da barra.

Como o momento da força R A M A e o momento M 0 fazem a barra girar no sentido horário, colocamos um sinal de menos na frente desses dois momentos na equação de equilíbrio de momentos.

Essa equação de equilíbrio de momentos, diz que a soma dos momentos deve valer zero.

- M A - M 0 = 0

- R A L - M 0 = 0

R A = - M 0 L

Agora podemos achar quanto vale o momento fletor M no próximo passo.

Passo 3

Para achar M fazemos um corte imaginário na barra A B a uma distância x do ponto A . Com isso, a barra A B vai ser dividida na parte esquerda e na parte direita. Encontramos M , fazendo o equilíbrio de momento da parte esquerda da barra no ponto x .

Como podemos ver, o braço de alavanca da força P no ponto x é zero. Logo, seu momento vale zero. Além disso, lembramos de novo que, como o momento da força R A M A e o momento M 0 fazem a barra girar no sentido horário, colocamos um sinal de menos na frente desses dois momentos na equação de equilíbrio de momentos.

- M A - M 0 + M = 0

- R A x - M 0 + M = 0

- - M 0 L x - M 0 + M = 0

M = - M 0 L x - L

Passo 4

Como achamos o momento fletor M , só falta achar a força cortante P para calcular U .

Achamos P , fazendo o equilíbrio de forças da parte esquerda da barra.

Esse equilíbrio diz que a soma das forças tem que dar zero.

Atenção! Como a força cortante está pra baixo, ele deve gahar um sinal de menos.

R A - P = 0

- M 0 L - P = 0

P = - M 0 L

Substituindo esse valor de força cortante na equação de U P , achamos U P .

Antes, precisamos lembrar que a área A é igual a b vezes d A = b d .

Agora sim! Vamos substituir A e P .

U P = 3 P 2 L 5 G A       ⟹       U P = 3 - M 0 L 2 L 5 G b d       ⟹       U P = 3 M 0 2 5 G L b d

Vamos achar U M e U no próximo passo.

Passo 5

Antes de resolver a integral de U M , precisamos lembrar que o momento de inércia I de uma área retangular vale:

I = b d 3 12

Pronto, substituindo M e I na integral, achamos U M !

U M = ∫ 0 L M 2 2 E I   d x       ⟹       U M = ∫ 0 L - M 0 L x - L 2 2 E b d 3 12   d x       ⟹       U M = ∫ 0 L 6 M 0 2 x - L 2 E L 2 b d 3   d x

Tirando as constantes de dentro da integral:

U M = 6 M 0 2 E L 2 b d 3 ∫ 0 L x - L 2   d x

U M = 6 M 0 2 E L 2 b d 3 x - L 3 3 0 L

U M = 6 M 0 2 E L 2 b d 3 L 3 3

U M = 2 M 0 2 L E b d 3

Somando U M com U P , achamos U .

U = U M + U P

U = 2 M 0 2 L E b d 3 + 3 M 0 2 5 G L b d

U = 2 M 0 2 L E b d 3 1 + 3 10 E d 2 G L 2

Shoooow! Enfim achamos a resposta que a questão queria!

Resposta

U = 2 M 0 2 L E b d 3 1 + 3 10 E d 2 G L 2

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