Determine a altura na qual uma bola de bilhar deveria bater de modo a rolar sem nenhum escorregamento inicial.

Passo 1

A bola de bilhar recebe um impulso J → , ou seja, uma força F → ( t ) é aplicada durante um curto intervalo de tempo τ , então:

J → = ∫ F → t ' d t '

Passo 2

As equações de movimento são:

d p → d t = F →

d L → d t = r → × F →    

Que nesse caso gera:

Δ p → = ∫ F → t ' d t ' = J →

Δ L → = ∫ r → × F → t ' d t ' = r → × J →

Passo 3

Como:

p → t = 0 = 0

L → t = 0 = 0

Assim após a aplicação do impulso, temos:

p → = M → V → C M = J →

L → = I o ω → = r → × J → = z - a ∙ J ∙ ω → ω

Passo 4

Assim:

V → C M = J → M →

ω → = J I 0 z - a ω → ω  

Onde:

I 0 = 2 5 M a ²

Passo 5

A velocidade em qualquer ponto a na bola é dada por:

v → a = V → C M + ω → × r → a

Para o ponto de contato Q , isso se torna:

v → Q = V → C M - ω a J → J

v → Q = J m 1 - 5 z - a 2 a

Resposta

Assim para a bola rolar sem escorregar, v → Q = 0 , e temos:

2 a = 5 ( z - a )

Então:

z = 7 5 a