39. Determine, diretamente por integração, o centróide da superfície da figura.

Passo 1

Falaaa.. belezinha???

Nessa questão vamos usar as equações para centróide:

x - A = ∫ x - e l d A

y - A = ∫ y - e l d A

E já vamos começar fazendo o desenho da figura e separando um elemento infinitesimal:

Passo 2

Vamos primeiro achar a área da figura que, como é um triângulo, é dada por:

A = b h 2

Agora precisamos definir quem é o bendito d A .

Repara só que a gente pegou um elemento beeeemmmm fininho, de largura d x , então podemos considerar esse elemento como um retângulo de largura d x e altura y .

Daí então temos que:

d A = y   d x

E para a posição do centróide do elemento:

x - e l = x

y - e l = y 2

E também precisamos expressa o y em termos de x (já que queremos integrar e tal tal tal).

Fazendo uma semelhança de triângulos:

h b = y x

y = h b x

Passo 3

Agora sim é só partir pro abraço e usar as equações.

Para x :

x - A = ∫ x - e l d A

x - b h 2 = ∫ 0 b x   y d x

x - b h 2 = ∫ 0 b x h b x d x

x - b h 2 = h b ∫ 0 b x 2 d x

x - b h 2 = h b x 3 3 0 b

x - b h 2 = h b b 3 3

x - b h 2 = h b 2 3

x - = 2 3 b

Passo 4

Para y :

y - A = ∫ y - e l d A

y - b h 2 = ∫ y 2   y d x

y - b h 2 = ∫ 0 b h b x 2   h b x d x

y - b h 2 = h 2 2 b 2 ∫ 0 b x 2 d x

y - b h 2 = h 2 2 b 2 x 3 3 0 b

y - b h 2 = h 2 2 b 2 b 3 3

y - b h 2 = h 2 b 6

y - = 1 3 h

Acabamos essa. Bora pra próxima?

Resposta

x - = 2 3 b

y - = 1 3 h