Determine os eixos e os momentos de inércia principais de um hemisfério uniformemente sólido de raio ô e massa m em torno de seu centro de massa.

Passo 1

Deixando a superfície do hemisfério sobre o plano x y conforme a figura. A densidade de massa pode ser determinada por:

ρ = M V = M 2 3 π b ³ = 3 M 2 π b 3

Agora vamos calcular o centro de massa do hemisfério, devido a simetria temos:

x C M = y C M = 0

z C M = 1 M ∫ v ρ z   d v  

Utilizando coordenadas esféricas:

z C M = ρ M ∫ ϕ = 0 2 π d ϕ   ∫ θ = 0 π 2 s e n θ ∙ c o s θ ∙ d θ ∫ r = 0 b r ³ d r

z C M =   3 2 π b 3 2 π 1 2 1 4 b 4 = 3 8 b

Passo 2

Agora vamos calcular o tensor de inercia com relação aos eixos atravessando o centro de massa do hemisfério:

Por simetria:

I 12 = I 21 = I 13 = I 31 = I 23 = I 32 = 0

Assim vemos que os eixos da figura são os eixos principais, além disso devido a simetria I 11 = I 22 :

I 11 = J 11 - M 3 8 v 2

Em que J 11 é igual ao momento de inercia em relação aos eixos originais:

J 11 = ρ ∫ v y 2 + z 2 d v

J 11 = ∫ v r 2 ∙ s e n 2 θ ∙ s e n 2 ϕ + r 2 ∙ c o s 2 θ   r 2 ∙ s e n θ ∙ d r   d θ   d ϕ

J 11 = 3 M 2 π b 3   ∫ r = 0 b r 4 d r   ∫ θ = 0 π 2 ∫ ϕ = 0 2 π s e n 2 θ ∙ s e n 2 ϕ + c o s 2 θ d ϕ s e n θ d θ

J 11 = 3 M b ² 10 π   ∫ θ = 0 π 2 ( π ∙ s e n 3 θ + 2 π ∙ c o s 2 θ ∙ s e n θ ) d θ = 2 5 M b ²

Assim, temos:

I 11 = I 22 = 2 5 M b 2 - 9 64 M b 2 = 83 320 M b ²

E ainda:

I 33 = J 33 - M 0 = J 33

I 33 = ρ ∫ v x 2 + y 2 d v

I 33 = ρ ∫ v r 4 ∙ s e n 3 θ ∙ d r   d θ   d ϕ = 2 5 M b ²

Resposta

Dessa forma os principais eixos são os exibidos na figura do Passo 2, e os momentos de inercia principais são:

I 11 = I 22 = 83 320 M b ²

I 33 = 2 5 M b ²