Enunciado

10. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento se ele estiver orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

Passo 1

Olhando a figura acima, percebemos que trata-se de um estado plano de tensões, em que ocorre a seguinte situação:

σ x = 0 , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal.

σ y = - 300   k P a , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão.

τ x y = 950   k P a , com valor positivo uma vez que as setas de tensão cisalhante apontam para o primeiro e terceiro quadrante.

Se as setas de tensão cisalhante apontam para o primeiro e terceiro quadrante, τ x y tem valor positivo. Do contrário, se as setas apontam para o segundo e quarto quadrante, τ x y tem um valor negativo.

Passo 2

Bom! Chega de papo! Vamos fazer o que o exercício quer e determinar o estado de tensão σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' no elemento do enunciado caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo θ = 30 ° em sentido anti-horário. E se falou anti-horário, já dá pra saber que o nosso ângulo θ é positivo.

Agora, basta apenas aplicar as fórmulas de transformação de tensão que já conhecemos, para encontrar nossas novas tensões. São elas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

E sabemos também o valor das seguintes variáveis:

σ x = 0

σ y = - 300   k P a

τ x y = 950   k P a

θ = 30 °

Só nos resta, então, substituir esses valores nas três expressões das tensões acima, para encontrar quanta vale cada uma.

σ x ' = - 300   k P a 2 + 0 + 300   k P a 2  cos ⁡ 60 ° + ( 950   k P a ) sen ⁡ 60 °

σ y ' = - 300   k P a 2 - 0 + 300   k P a 2 cos ⁡ 60 ° ⁡ -   ( 950   k P a ) sen ⁡ 60 °

τ x ' y ' = - 0 + 300 k P a 2 sen ⁡ 60 ° ⁡ +   ( 950   k P a ) cos ⁡ 60 °

E alcançamos os seguintes resultados:

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

τ x ' y ' = 345   k P a

Passo 3

No passo anterior, já encontramos as respostas do nosso exercício, mas para complementar nossa solução, podemos desenhar essas mesmas tensões no nosso elemento rotacionado.

Sabemos que as tensões σ x ' e τ x ' y ' , por serem positivas, vão ter os mesmo sentidos que tinham no estado plano da figura do enunciado, sendo representadas de maneira convencional. Já σ y ' , que tem um valor negativo, vai ser representada com uma tensão compressiva.

Chegamos então, até a seguinte imagem:

Resposta

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

τ x ' y ' = 345   k P a

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Para o estado de tensões dado, determine as tensões normal e de cisalhamento depois que o elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25 ° no sentido horário e (b) 10 ° no sentido anti-horário.