Enunciado

Determine a força no elemento B F da treliça carregada.

Passo 1

Vamos resolver as equações de equilíbrio em x e y   para cada nó começando em E . As forças positivas indicam tração e as negativas compressão, e sempre trataremos as forças desconhecidas como tração. Devemos olhar as barras curvas como se fossem retilíneas.

Nó E:

O triângulo O E F é isósceles, então os ângulos O E ^ F e O F ^ E são iguais a:

O E ^ F = O F ^ E = 180 ° - 30 ° 2 = 75 °

Então temos:

∑ F x = 0 ⇒ - E F cos ⁡ 75 °   + E D = 0 ⇒ E D = E F cos ⁡ 75 °

∑ F y = 0 ⇒ E F sen ⁡ 75 ° - L = 0 ⇒ E F = L sen ⁡ 75 ° =   1,035 L   ( T )

Substituindo E F na expressão de E D :

E D = E F cos ⁡ 75 °

⇒ E D = 1,035 cos ⁡ 75 ° = 0,2679 L   ( T )

Passo 2

Nó D:

Sabemos que o ângulo O D ^ C é igual a 75 ° . Agora precisamos do ângulo E D ^ F . Vamos dar uma olhada melhor no triângulo O D F :

Vamos fazer a lei dos cossenos no tiângulo O D F com os lados R e 2 R e o ângulo de 30 ° para achar o lado D F - :

D F - 2 = R 2 + 2 R 2 - 2 . R . 2 R . cos ⁡ 30 °

⇒ D F - 2 = 5 R 2 - 4 3 R 2 2 = 1,536 R 2

⇒ D F - = 1,239 R

Agora, fazemos a lei dos senos, usando os lados D F - e O F - e seus ângulos opostos, 30 ° e E D ^ F :

D F - sen ⁡ 30 ° = O F - sen ⁡ E D ^ F ⇒ 1,239 R 1 2 = R sen ⁡ E D ^ F

⇒ sen ⁡ E D ^ F = 0,407

Agora usamos a relação fundamental trigonométrica para achar cos ⁡ ( E D ^ F ) :

cos ⁡ ( E D ^ F ) = 1 - sen 2 ⁡ E D ^ F = 1 - 0,407 2 = 0,915

Passo 3

Agora aplicamos as equações de equilíbrio para D :

∑ F x = 0 ⇒ - E D - D F c o s   E D ^ F - C D cos ⁡ 75 ° = 0

⇒ - 0,2679 L - 0,915 D F - 0,259 C D = 0

⇒ C D = - 3,533 D F - 1,034 L

∑ F y = 0 ⇒ D F sen ⁡ E D ^ F + C D sen ⁡ 75 ° - L = 0

⇒ 0,407 D F + 0,966 C D = L

Substituímos agora C D :

0,407 D F + 0,966 - 3,533 D F - 1,034 L = L

⇒ - 3,006 D F = 1,999 L ⇒ D F = - 0,664 L   ( C )

Com o falor de D F achamos C D :

C D = - 3,533 D F - 1,034 L ⇒ C D = - 3,533 - 0,664 L - 1,034 L

⇒ C D = 1,313 L   ( T )

Passo 4

Nó C:

É fácil aqui perceber que a inclinação de B C com a horizontal é de 45 ° . Temos então:

∑ F x = 0 ⇒ - B C cos ⁡ 45 ° + C D c o s   75 ° - C F cos ⁡ 30 ° = 0

⇒ - 0,701 B C + 0,259 ( 1,313 L ) - 0,866 C F = 0

⇒ B C = - 1,235 C F + 0,485 L

∑ F y = 0 ⇒ B C sen ⁡ 45 ° - C D sen ⁡ 75 ° - C F sen ⁡ 30 ° = 0

⇒ 0,701 B C - 1,268 L - 0,5 C F = 0

Substituímos B C pelo valor achado na primeira equação:

0,701 - 1,235 C F + 0,485 L - 1,268 L - 0,5 C F = 0

⇒ - 1,366 C F = 0,298 ⇒ C F = - 0,679 L   ( C )

Agora podemos ir para o nó F para encontrar o valor de B F .

Passo 5

Nó F:

Vamos dar uma olhada melhor nas forças atuando em F :

Colocamos na imagem o ângulo E D ^ F igual sen - 1 ⁡ ( 0,407 ) = 23,8 ° . O ângulo entre B F e a horizontal é:

θ = 53,8 ° + 30 ° = 83,8 °

Então agora podemos podemos calcular as equações pra achar B F :

∑ F x = 0

⇒ - F G cos ⁡ 45 ° + B F cos ⁡ 83,8 ° - 0,679 L cos ⁡ 30 ° - 0,664 L cos ⁡ 23,8 ° + 1,035 L cos ⁡ 75 ° = 0

Substituindo os cossenos e os valores das forças:

- 0,701 F G + 0,108 B F - 0,588 L - 0,589 L + 0,268 L

⇒ - 0,701 F G + 0,108 B F - 0,909 L = 0 ⇒ F G = - 1,297 L + 0,154 B F

Agora para as forças verticais:

∑ F y = 0

⇒ F G sen ⁡ 45 ° + B F sen ⁡ 83,8 ° - 0,679 L sen ⁡ 30 ° + 0,644 L sen ⁡ 23,8 ° - 1,035 L sen ⁡ 75 ° = 0

Substituindo os senos e os valores das forças:

0,701 F G + 0,994 B F - 0,34 L + 0,26 L - L = 0

⇒ 0,701 F G + 0,994 B F - 1,08 L = 0

Agora substituímos F G pelo valor encontrado na primeira equação:

0,701 - 1,297 L + 0,154 B F + 0,994 B F - 1,08 L = 0

⇒ - 0,909 L + 0,108 B F + 0,994 B F - 1,08 L = 0

⇒ 1,102 B F = 1,989 L

⇒ B F = 1,814 L   ( T )

Resposta

B F = 1,814 L   ( T )

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