Determine a frequência das pequenas oscilações de uma placa fina homogênea caso o movimento ocorra no plano da placa e caso a placa tenha a forma de um triângulo equilátero e se encontre suspensa (A) pelo ponto médio de um lado e (B) por um vértice.

Passo 1

A área do triângulo é A = 3 a 2 4 , então a densidade será:

ρ = M A = 4 M a 2 3  

Passo 2

A inércia rotacional em relação a um eixo que passa pelo ponto de suspensão (a origem) é:

I 3 = ρ ∫ x 1 2 + x 2 2 d x 1 d x 2

= 2 ρ ∫ 0 a 2 d x 1 ∫ 3 2 ( a - 2 x 1 ) 0 x 1 2 + x 2 2 d x 2

= 3 24 ρ a 4 = 1 6 M a ²

Quando o triângulo está suspenso como quando θ = 0 , as coordenadas do centro de massa

são ( 0 , x - 2 , 0 ) , onde:

x 2 - = 1 M ∫ ρ x 2 d x 1   d x 2

= 2 ρ M ∫ 0 a 2 d x 1 ∫ - 3 a - 2 x 1 0 x 2 d x 2

= - a 2 3

A energia cinética será:

T = 1 2 I 3 θ ˙ 2 = 1 12 M a 2 θ ˙ 2

E a energia potencial:

U =   M g a 2 3 1 - c o s θ

Portanto:

L = 1 12 M a 2 θ ˙ 2 + M g a 2 3 c o s θ

Onde o termo constante pode ser suprimido. A equação de Lagrange para θ é:

θ ¨ + 3 g a s e n θ = 0

E para pequenas oscilações, a frequência é:

ω = 3 g a

E essa é a resposta da letra A.

Passo 3

A inércia rotacional para um eixo através do ponto de suspensão para este caso é:

I 3 ' = 2 ρ ∫ - 3 2 0 d x 2 ∫ 0 - x 2 3 x 1 2 + x 2 2 d x 1

= 5 12 M a ²

A Lagrangiana agora será:

L = 5 24 M a 2 θ ˙ 2 + M g a 3 c o s θ

E a equação do movimento:

θ ¨ + 12 5 3 g a s e n θ = 0

Assim a frequência para pequenas oscilações é:

ω = 12 5 3 g a

E essa é a resposta da letra B. Que é levemente menor que o resultado da letra A.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)