Determine a hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton para a máquina dupla de atwood dupla do Exemplo 7.8.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um esboço da situação, temos:

Do próprio exemplo 7.8 é nos dada a energia cinética (T) e potencial (U):

T = 1 2   m 1   x 1 ' 2 + 1 2 m 2 y ' - x ' 2 + 1 2 m 3 - x ' - y ' 2

E:

U =   - m 1 g x - m 2 g l - x + y - m 3 g l - x + l ' - y

Assim:

L = 1 2 m 1 + m 2 + m 3 x ' 2 + 1 2 m 2 + m 3 y ' 2 + x ' y ' m 3 - m 2

+ g m 1 - m 2 - m 3 x + g m 2 - m 3 y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Os momentos canônicos são:

p x = ∂ L ∂ x ' = m 1 + m 2 + m 3 x ' + m 3 - m 2 y '

p y = ∂ L ∂ y ' = m 3 - m 2 x ' + m 2 + m 3 y '

Assim:

x ' = 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 2 + m 3 p x + m 2 - m 3 p y

y ' = 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 2 + m 3 p x + m 1 + m 2 + m 3 p y

Passo 3

Substituindo na equação da Hamiltoniana, temos:

H = 1 2 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 2 + m 3 p x 2 + 1 2 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 1 + m 2 + m 3 p y 2 +

+ 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3   m 2 - m 3 p x p y - g m 1 - m 2 + m 3 x - g m 2 - m 3 y

Coisa feia, não?!

Assim, as equações de movimento são:

x ' = ∂ H ∂ p x = m 2 + m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p x + m 2 - m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y

y ' = ∂ H ∂ p y = m 2 - m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y + m 1 + m 2 + m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y

p x ' = - ∂ H ∂ x = g m 1 - m 2 - m 3

p y ' = - ∂ H ∂ y = g m 2 - m 3

Resposta

A hamiltoniana é:

H = 1 2 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 2 + m 3 p x 2 + 1 2 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 m 1 + m 2 + m 3 p y 2 +

+ 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3   m 2 - m 3 p x p y - g m 1 - m 2 + m 3 x - g m 2 - m 3 y

E as equações de movimento:

x ' = ∂ H ∂ p x = m 2 + m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p x + m 2 - m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y

y ' = ∂ H ∂ p y = m 2 - m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y + m 1 + m 2 + m 3 1 m 1 m 3 + m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 p y

p x ' = - ∂ H ∂ x = g m 1 - m 2 - m 3

p y ' = - ∂ H ∂ y = g m 2 - m 3