Determine a hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton para (a) um pêndulo simples e (b) uma máquina de Atwood simples (polia simples).

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Um pendulo simples não é segredo pra gente. Sabemos que as coordenadas xy são:

y =   - l cos ⁡ θ

x = l sin ⁡ θ

y ' = l sin ⁡ θ

x ' = l cos ⁡ θ

Assim, energias são dadas por:

T = m 2 x ' 2 + y ' 2 = m 2 l 2 θ ' 2

U = m g y = - m g   l cos ⁡ θ

E a lagrangiana é:

L = T - U = m 2 l 2 θ ' 2 + m g   l cos ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, o momento mecânico em relação ao θ é:

p θ = ∂ L ∂ θ ' = m l 2

Desde que a energia U seja independente do tempo, a Hamiltoniana é a energia total:

H = T + U = p θ 2 2 m l 2 - m g   l cos ⁡ θ

E as equações de movimento são:

θ ' = ∂ H ∂ p θ = p θ m l 2

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = - m g   l sin ⁡ θ

Passo 3

Para b)

Assim, a energia cinética (que também conter o movimento rotacional) é:

T = 1 2 m 1 x ' 2 + 1 2   m 2 x ' 2 + 1 2   I x ' 2 a 2

E a energia potencial é:

U = m 1 g   x ' - m 2 g l - x

Assim a lagrangiana é:

T = T - U = 1 2 m 1 x ' 2 + 1 2   m 2 x ' 2 + 1 2   I x ' 2 a 2 + m 1 g   x ' + m 2 g l - x

De forma que o momento mecânico é:

p x = ∂ L ∂ x ' = m 1 + m 2 + I a 2 x '

De forma que:

x ' = p x m 1 + m 2 + I a 2

Desde que U não dependa do tempo, a energia total é a hamiltoniana:

H = T + U = p x 2 2 m 1 + m 2 + I a 2 - m 1 g x - m 2 g l - x

E as equações de movimento são:

x ' = ∂ H ∂ p x = p x m 1 + m 2 + I a 2

p x ' = - ∂ H ∂ p x = g m 1 - m 2

Resposta

Para a)

θ ' = ∂ H ∂ p θ = p θ m l 2

p θ ' = - ∂ H ∂ θ = - m g   l sin ⁡ θ

Para b)

x ' = ∂ H ∂ p x = p x m 1 + m 2 + I a 2

p x ' = - ∂ H ∂ p x = g m 1 - m 2