Enunciado

3- Determine por integração direta o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo y .

Passo 1

Para calcularmos o momento em relação ao eixo y nós devemos fazer a seguinte integral

I y = ∫ x 2   d A

Pois a idéia de fazermos várias linhas verticais de largura d A e que estão longe da origem a uma distância x . Mas antes de fazermos essa integral da função precisamos encontrar a constante k .

y = k x 2

Onde a parábola começa no ponto ( 0,0 ) e termina no ponto ( a , b ) , substituindo esse último ponto nós temos:

b = k a 2

k = b a 2

Logo:

y = b a 2   x 2

Passo 2

Agora falta nós conseguimos dizer por meio dessa função o que significa d A .E para isso vamos ver quanto vale a área de uma simples linha vertical nessa superfície.

Isso é, não importa a linha vertical que formos pegar ela sempre terá altura igual a b - y , pois está limitado entre a reta y = b e y da parábola. E terá largura de d x , nos dando então um elemento de área igual a:

d A = b - y d x

O raciocínio é idêntico a quando calculamos o centro de massa ou de área. Pois nele precisamos calcular o momento em relação a um dos eixos.

Passo 3

Dessa forma a integral da inércia será igual a:

I y = ∫ x 2   b - y d x

Pois y nós encontramos e vale

y = b a 2   x 2

E x varia de 0 até a . Logo nossa integral fica:

I y = ∫ 0 a x 2 b - b a 2   x 2 d x

I y = ∫ 0 a b x 2 - b a 2 x 4 d x

Fazendo a integral:

I y = b x 3 3 - b x 5 5 a 2 0 a

Aplicando o intervalo:

I y = b a 3 3 - b a 5 5 a 2

I y = b a 3 3 - b a 3 5 = 2 15 b a 3

Resposta

I y = 2 15 b a 3

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