Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo de x.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Já vamos iniciar desenhando o diagrama mostrando o elemento diferencial horizontal

Passo 2

Para uma tira elementar, o momento de inércia em relação ao eixo x é dado por

d I x = y 2 d A

I x = ∫ y 2 d A

Temos a área da faixa

d A = x ( d y )

No ponto asa temos:

x = a

y = b

Temos a equação da curva como:

y = k x 2

Substituindo

b = k a 2

k = b a 2

Passo 3

Fazendo uma nova substituição

y = b a 2 x 2

x = a y b

I x = ∫ y 2 a y b d y

I x = a b   ∫ y 2 y 1 / 2

I x = a b ∫ y 5 / 2

Iremos aplicar o limite de 0 a b.

I x = a b   ∫ 0 b y 5 / 2 d y

I x = a b   y 7 2 7 2 0 b

I x = 2 a 7 b b 7 2 - 0

I x = 2 a b 3 7

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo de x é 2 a b 3 / 7 .