Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo de x.

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Vamos encontrar o valor de k para a equação

y = k x 1 / 3                                 ( 1 )

b = k a 1 / 3

k = b a 1 / 3

Logo

y = b a 1 / 3 x 1 / 3

Passo 2

Agora iremos visualizar o nosso D.C.L da área sombreada

Vamos considerar uma tira elementar dx para a figura dada.

A área da faixa elementar do retângulo é d A = x ⋅ d y

O momento de inércia d I x da área elementar é

I x = ∫ d I x

= ∫ y 2 d A

= ∫ y 2 ( x d y )                 ( 2 )

Agora iremos resolver a expressão (1) para o valor de x

y = k x 1 / 3

y 3 = k 3 x

x = y k 3

Substituindo o valor de x na expressão (2), temos

I x = ∫ y 2 ⋅ y k 3 d y

= ∫ y 2 ⋅ y k 3 d y

= ∫ y 2 ⋅ y b a 1 3 3 d y

= ∫ y 5 ⋅ a b 3 d y

Passo 3

Resolva a equação acima para o momento de inércia

I x = a b 3 ∫ 0 b y 5 d y

= a b 3 y 6 6 0 b

= a b 3 6

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo de x é a b 3 / 6 .