Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo x.

Passo 1

Falaiii meus xuxu’s, ceis tão bonzinho??

Espero que sim hein, bora lá pra mais uma?

Encostaaaa

Iremos encontrar o valor de k da equação

x = a

y = b

y = k x n                           ( 1 )

b = k a n

k = b a n

Portanto, a equação 1, acaba se tornando

y = b a n x n

Passo 2

Agora iremos desenhar o D.C.L da área sombreada, como mostra a seguir

Passo 3

Vamos considerar uma tira elementar d x para a figura que foi dada no passo anterior

A área da faixa elementar d x é d A = y d x

O momento de inércia d I x da área elementar é

I x = ∫ d I y

= ∫ 1 3 y 2 d A

= 1 3 ∫ y 2 y d x

I x = 1 3 ∫ b a n x n d x

= b 3 3 a 3 n ∫ 0 a x 3 d x

= b 3 3 a 3 n x 3 n + 1 3 n + 1 0 a

= b 3 3 a 3 n x 3 n + 1 3 n + 1  

Resolvendo, temos:

I x = a b 3 3 ( 3 n + 1 )

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo x, é de

I x = a b 3 3 ( 3 n + 1 )