Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo y.

Passo 1

Alô Alô, galerinha do responde ai, tudo bem?

Bora lá

Vamos considerar um elemento diferencial paralelo ao eixo y como mostrado a seguir

Passo 2

Determinando as constantes das duas curvas

Considerando

y 1 = m x               ( 1 )

b = m a

m = b a

y 1 = b a x

Considerando

y 2 = k x 2                         ( 2 )

b = k a 2

k = b a 2

y 2 = b a 2 x 2

Passo 3

Vamos escrever a expressão para a área elementar

d A = y 1 - y 2 d x

d A = b a x - b a 2 x 2 d x

I y = ∫ 0 a x 2 d A

= ∫ 0 a x 2 b a x - b a 2 x 2 d x

= ∫ 0 a b a x 3 - b a 2 x 4 d x

= b a x 4 4 0 a - b a 2 x 5 5 0 a

= b a a 4 4 - b a 2 a 5 5

= a 3 b 4 - a 3 b 5

= a 3 b 20

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y, é de

I y = a 3 b 20