Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo y.

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Iremos encontrar o valor de k da equação

y = k x n                           ( 1 )

b = k a n

k = b a n

Portanto, a equação 1, acaba se tornando

y = b a n x n

Passo 2

Agora iremos desenhar o D.C.L da área sombreada, como mostra a seguir

Passo 3

Vamos considerar uma tira elementar d x para a figura que foi dada no passo anterior

A área da faixa elementar d x é d A = y d x

O momento de inércia d I y da área elementar é

I y = ∫ d I y

= ∫ x 2 d A

= ∫ x 2 y d x

I y = ∫ x 2 ⋅ b a n d x

= b a n ∫ 0 a x n + 2 d x

= b a n x n + 3 n + 3 0 a

= b a n a n + 3 n + 3  

Resolvendo, temos:

I y = a 3 b n + 3

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y, é de

a 3 b n + 3