Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo y.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Vamos encontrar o k da equação

y = k x 1 / 3

b = k a 1 / 3

k = b a 1 / 3

Logo

y = b a 1 / 3 x 1 / 3

Passo 2

Temos o nosso D.C.L da área sombreada como mostra a seguir

Passo 3

Vamos considerar uma tira elementar d x para a figura que foi dada no passo anterior

A área da faixa elementar do retângulo é d A = y d x

O momento de inércia d I y da área elementar é

I y = ∫ d I y

= ∫ x 2 d A

= ∫ x 2 y d x

I y = ∫ x 2 ⋅ b a 1 / 3 x 1 / 3 d x

= b a 1 / 3 ∫ 0 a x 2 + 1 3 d x

= b a 1 / 3 ∫ 0 a x 7 / 3 d x

= b a 1 / 3 x 7 3 + 1 7 3 + 1 0 a

Resolvendo, temos:

I y = b a 1 / 3 ⋅ 3 10 a 10 3

= 3 10 ⋅ a 10 3 - 1 3 b

= 3 10 ⋅ a 9 3 b

= 3 a 3 b 10

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y, é de

I y = 3 a 3 b 10