Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície sombreada, em relação ao eixo y.

Passo 1

Boraaa galerinha, aniimaaa, vamos resolver mais um!!

Só bora então!!

Já vamos começar considerando um elemento diferencial paralelo ao eixo x , de largura e espessura dy como mostra a figura a seguir:

Passo 2

Considerando a equação da curva

y = k x 2

x = a

y = b

b = k a 2

k = b a 2

x = y k

x = y b a 2

x = y a 2 b

Passo 3

Vamos determinar o momento de inércia do elemento diferencial em torno do eixo de y usando o teorema dos eixos paralelos

d I y = d I y ¯ + d A x ¯ 2

d I y = d y x 3 12 + x × d y x 2 2

d I y = x 3 3 d y

Integraremos parra determinar o momento de inércia da região sombreada da curva

∫ d I y = ∫ x 3 3 d y

∫ d I y = ∫ 1 3 y a 2 b 3 d y

I y = 1 3 a 2 b 3 / 2 y 5 2 5 2 0 b

I y = 2 15 a 2 b 3 2 b 5 2 - 0

I y = 2 a 3 b 15

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y, é de

I y = 2 a 3 b 15