Determine o momento de inércia do cone em relação a um eixo vertical y ‾ que passa pelo centro de massa do cone. Qual é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo y' que passa pelo diâmetro da base do cone? O cone tem massa m.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine o momento de inércia do cone em relação a um eixo vertical y ‾ que passa pelo centro de massa do cone.

A massa do elemento diferencial é d m = ρ d V = ρ π y 2 d x = ρ π a 2 h 2 x 2 d x

d I y = 1 4 d m y 2 + d m x 2

= 1 4 ρ π a 2 h 2 x 2 d x a h x 2 + ρ π a 2 h 2 x 2 x 2 d x

= ρ π a 2 4 h 4 4 h 2 + a 2 x 4 d x

I y = ∫ d I y = ρ π a 2 4 h 4 4 h 2 + a 2 ∫ 0 h   x 4 d x = ρ π a 2 h 20 4 h 2 + a 2

Contudo

m = ∫ m   d m = ρ π a 2 h 2 ∫ 0 h   x 2 d x = ρ π a 2 h 3

Por isso

I y = 3 m 20 4 h 2 + a 2

Passo 2

Usando o teorema dos eixos paralelos:

I y = I y - + m d 2

3 m 20 4 h 2 + a 2 = I y - + m 3 h 4 2

I y - = 3 m 80 h 2 + 4 a 2

I y ' = I y - + m d 2

= 3 m 80 h 2 + 4 a 2 + m h 4 2

= m 20 2 h 2 + 3 a 2

Resposta

I y ‾ = 3 m 80 h 2 + 4 a 2 I y ' = m 20 2 h 2 + 3 a 2