Determine o momento de inércia I y do objeto formado girando a área sombreada em torno da linha x = 5 pés. Expresse o resultado em termos da densidade do material, ρ.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine o momento de inércia I y do objeto formado girando a área sombreada em torno da linha x = 5 pés. Expresse o resultado em termos da densidade do material, ρ.

I y ' = ∫ 0 3   1 2 d m r 2 - 1 2 m ' ( 2 ) 2

∫ 0 3   1 2 d m r 2 = 1 2 ∫ 0 3   ρ π ( 5 - x ) 4 d y = 1 2 ρ π ∫ 0 3   5 - y 2 3 4 d y = 490.29 ρ π ]

m ' = ρ π ( 2 ) 2 ( 3 ) = 12 ρ π

I y ' = 490.29 ρ π - 1 2 ( 12 ρ π ) ( 2 ) 2 = 466.29 ρ π

Passo 2

Massa do corpo

m = ∫ 0 3   ρ π ( 5 - x ) 2 d y - m '

= ∫ 0 3   ρ π 5 - y 2 3 2 d y - 12 ρ π

= 38.4 ρ π

I y = 466.29 ρ π + ( 38.4 ρ π ) ( 5 ) 2

= 1426.29 ρ π

I y = 4.48 10 3 ρ

Passo 3

Também

I y ' = ∫ 0 3   r 2 d m

= ∫ 0 3   ( 5 - x ) 2 ρ ( 2 π ) ( 5 - x ) y d x

= 2 ρ π ∫ 0 3   ( 5 - x ) 3 ( 3 x ) 1 / 2 d x = 466.29 ρ π

m = ∫ 0 3   d m

= 2 ρ π ∫ 0 3   ( 5 - x ) y d x = 2 ρ π ∫ 0 3   ( 5 - x ) ( 3 x ) 1 / 2 d x = 38.4 ρ π

I y = 466.29 ρ π + 38.4 ρ π ( 5 ) 2 = 4.48 10 3 ρ

Resposta

I y = 4.48 10 3 ρ I y = 4.48 10 3 ρ