Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada da figura, em relação ao eixo x.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Para a equação dada

y = b 1 - x a 1 2

Os limites são x = a   e   y = b

A área total da curva é A = 1 3 a b

Passo 2

Vamos considerar uma tira elementar dx para a figura dada.

A área da faixa elementar é d A = y ⋅ d x

O momento de inércia d I x da área elementar é

I x = ∫ d I x

= 1 3 ∫ y 3 d A

= 1 3 ∫ b 1 - x a 1 2 3 d x

= 1 3 b 3 ∫ [ 1 - x a 1 2 3 d x

Integrando

I x = 1 3 b 3 ∫ 0 a 1 - x 3 / 2 a 3 / 2 - 3 x 1 / 2 a 1 / 2 + 3 x a   d x

= 1 3 b 3 x - 2 x 5 2 5 a 3 2 - 3 2 3 x 3 2 a 1 2 + 3 x 2 2 a 0 a

= b 3 3 × a 10

= a b 3 30

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é a b 3 / 30 .

Passo 3

Vamos encontrar o raio de giração da área sombreada usando a seguinte equação

k x 2 = I x A

k x 2 = a b 3 / 30 a b / 3

k x = 7 b 2 51

k x = b   10  

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é a b 3 / 30 .

Portanto, o raio de giração é b / 10 .