Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada ilustrada, em relação ao eixo x.

Passo 1

Alô Alô, galerinha do responde ai, tudo bem?

Bora lá

Já iremos iniciar desenhando o diagrama mostrando o elemento diferencial vertical

A figura é simétrica em relação ao eixo x

Para uma tira elementar, o momento de inércia em relação ao eixo x é dado como

d I x = 1 3 y 3 d x

Portanto, o momento de inércia da seção AOB em torno do eixo x é dado como

I x = ∫ 1 3 y 3 d x                     ( 1 )

Passo 2

A equação da curva fica da seguinte maneira

y = c 1 - k x 1 2               ( 2 )

No ponto A

x = 0

y = b

Substituindo os valores acima na expressão (2)

b = c 1 - 0

b = c         ( 3 )

No ponto b

x = a

y = 0

Substituindo os valores acima na expressão (2)

0 = c 1 - k a 1 / 2

k = 1 a           ( 4 )

Passo 3

Substituindo a equação (3) e (4) na expressão (2), temos

y = b 1 - x a 1 2             ( 5 )

Substituindo a equação (5) na equação (1)

d I x = 1 3 y 3 d x

I x = ∫ d I x

I x = b 3 3 ∫ 1 - x a 1 2 3 d x

Aplicando o limite de 0 a a

I x = b 3 3 ∫ 0 a 1 - x a 1 2 3 d x

I x = b 3 3 x - x 5 2 5 2 a 3 2 + 3 x 2 2 a - 3 x 3 2 3 2 a 1 2 0 a

I x = b 3 3 a - 2 a 5 + 3 a 2 - 2 a

I x = a b 3 30

Calcule o momento de inércia total da região sombreada em relação ao eixo x

I x t = 2 I x

I x t = 2 a b 3 30

I x t = a b 3 15

Resposta

Portanto, o momento de inércia da região sombreada em torno do eixo x é a b 3 / 15 .