Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada ilustrada, em relação ao eixo x.

Passo 1

Boraaa galerinha, aniimaaa, vamos resolver mais um!!

Só bora então!!

Vamos encontrar o valor de k para a equação

y = k x 5 / 2                                 ( 1 )

b = k a 5 / 2

k = b a 5 / 2

Logo

y = b a 5 / 2 x 5 / 2

Passo 2

Agora iremos visualizar o diagrama de corpo livre da área sombreada

Vamos considerar uma tira elementar dx para a figura dada.

A área da faixa elementar é d A = y ⋅ d x

O momento de inércia d I x da área elementar é

I x = ∫ d I x

= 1 3 ∫ y 2 d A

= 1 3 ∫ y 2 ( y d x )

= 1 3 ∫ y 3 d x

Agora iremos resolver a expressão b a 5 / 2 x 5 / 2 para o valor de x

I x = 1 3 ∫ b a 5 / 2 x 5 / 2   d x

= 1 3 ∫ 0 a b 3 a 15 2 x 15 2 d x

= b 3 3 a 15 / 2 ∫ 0 a x 15 / 2 d x

= b 3 3 a 15 / 2 x 17 2 17 2 0 a

Resolvendo a equação acima para o momento de inércia

I x = b 3 3 a 15 / 2 ⋅ 2 17 a 17 2

I x = 2 a b 3 51

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é 2 a b 3 / 51 .

Passo 3

Vamos encontrar o raio de giração da área sombreada usando a seguinte equação

k x 2 = I x A

k x 2 = 2 a b 3 / 51 2 a b / 7

k x = 7 b 2 51

k x = b   7 51  

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é 2 a b 3 / 51 .

Portanto, o raio de giração é b 7 / 51 .