Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada ilustrada, em relação ao eixo y.

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Vamos encontrar o valor de k para a equação

y = k x 5 / 2                                 ( 1 )

b = k a 5 / 2

k = b a 5 / 2

Logo

y = b a 5 / 2 x 5 / 2

Nosso D.C.L

Passo 2

Vamos considerar uma tira elementar dx para a figura dada.

A área da faixa elementar é d A = y ⋅ d x

O momento de inércia d I y da área elementar é

I y = ∫ d I y

= ∫ x 2 d A

= ∫ x 2 ( y d x )

Agora iremos resolver a expressão b a 5 / 2 x 5 / 2 para o valor de x

I y = ∫ x ⋅ b a 5 / 2 x 5 / 2   d x

= b a 5 / 2 ∫ 0 a x 9 / 2 d x

= b a 5 / 2 ∫ 0 a x 11 / 2 11 / 2 d x

= b a 5 / 2 ⋅ 2 11 a 11 / 2 0 a

Resolvendo a equação acima para o momento de inércia

I y = 2 11 a 3 b

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é 2 11 a 3 b .

Passo 3

Vamos encontrar o raio de giração da área sombreada usando a seguinte equação

k y 2 = I y A

k y 2 = 2 a b 3 / 1 1 2 a b / 7

k y = 7 a 2 1 1

k y = a   7 1 1  

Resposta

Portanto, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é 2 11 a 3 b

Portanto, o raio de giração é a 7 / 1 1 .