Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada ilustrada, em relação ao eixo y.

Passo 1

Falaiii meus xuxu’s, ceis tão bonzinho??

Espero que sim hein, bora lá pra mais uma?

Encostaaaa

Já iremos iniciar considerando uma faixa elementar vertical na área sombreada

Passo 2

Escreveremos a equação da curva dada

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

y = b 1 - x 2 a 2

Escrevendo a expressão para a área elementar

d A = 2 ( y ⋅ d x )

Escreveremos a expressão para o momento elementar de inércia

d I y = x 2 d A

d I y = 2 x 2 ( y ⋅ d x )

d I y = 2 x 2 b   1 - x 2 a 2 d x

Integrando o momento elementar de inércia

I y = ∫ d I y

= ∫ 0 a 2 x 2 b 1 - x 2 a 2 d x

x = asin ⁡ θ

d x = acos ⁡ θ ⋅ d θ

Portanto, os limites da integração mudarão de 0 - a   p a r a   ( 0 - π / 2 )

Passo 3

Portanto, temos que a expressão 1 se tornará

I y = ∫ 0 π / 2 2 a s i n θ 2 b 1 - ( a s i n θ ) 2 a 2 d x

= 2 b ∫ 0 π / 2 a 2 sin 2 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ × acos ⁡ θ d θ

= 2 a 3 b ∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= 2 a 2 b ∫ 0 π 2 1 2 ( 1 - cos ⁡ 4 θ ) d θ

I y = 1 4 a 3 b θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ 0 π 2

= 1 4 a 3 b   π 2 - 0

= π 8 a 3 b

Assim, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é π / 8   a 3 b

Escrevendo a expressão para a área da parábola

A = 1 2 π a b

Calculando o raio de giração

k y = I y A

k y = π 8 a 3 b 1 2 π a b

k y = 1 2 a

Sendo assim, o raio de giração da figura dada é de 1 2 a

Resposta

Assim, o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo y é π / 8   a 3 b

Sendo assim, o raio de giração da figura dada é de 1 2 a