Determine o momento polar de inércia e o raio de giração polar do retângulo ilustrado, em relação ao ponto médio de um de seus (a) maiores lados (b) menores lados.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Vamos iniciar desenhando o diagrama da área

Iremos calcular o momento de inércia do retângulo externo em relação ao eixo x

I x 1 = 1 3 b h 3

I x 1 = 1 3 × 4 a × 2 a 3

I x 1 = 32 a 4 3

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia do retângulo interno em relação ao eixo x

I x 2 = 1 3 b h 3

I x 2 = 1 3 × 2 a × a 3

I x 2 = 2 a 4 3

Calculando o momento de inércia da área sombreada em torno do eixo x. Considerando a seguinte expressão

I x = I x 1 + I x 2

I x = 32 a 4 3 - 2 a 4 3

I x = 30 a 4 3

I x = 10 a 4

Calculando o momento de inércia do retângulo externo em torno do eixo y, temos

I y 1 = 1 12 b 3 h

I y 1 = 1 12 4 a 3 ( 2 a )

I y 1 = 32 a 4 3

Calculando o momento de inércia do retângulo interno em torno do eixo y, temos

I y 2 = 1 12 b 3 h

I y 2 = 1 12 2 a 3 ( a )

I y 2 = 2 a 4 3

Calculando o momento de inércia da área sombreada em torno do eixo y. Considerando a seguinte expressão

I y = I y 1 + I y 2

I y = 32 a 4 3 - 2 a 4 3

I y = 30 a 4 3

I y = 10 a 4

Passo 3

Calculando o momento de inércia polar da área sombreada em relação ao ponto P. Consideremos o teorema do eixo perpendicular

J P = I x + I y

J P = 10 a 4 + 10 a 4

J P = 20 a 4

Portanto, o momento polar de inércia da área sombreada em relação ao ponto P é 20 a 4 .

A área da região sombreada é

A = B H - b h

A = 4 a 2 a - 2 a a

A = 8 a 2 - 2 a 2

A = 6 a 2

Vamos calcular o raio de giração polar da área sombreada em torno do ponto P

k P = J P A

k P = 20 a 4 6 a 2  

k P = 10 a 2 3

k P = 1.826 a

Portanto, o raio polar de giração da área sombreada em relação ao ponto P é 1.826 a .

Resposta

Portanto, o momento polar de inércia da área sombreada em relação ao ponto P é 20 a 4 .

Portanto, o raio polar de giração da área sombreada em relação ao ponto P é 1.826 a .