Determine o momento polar de inercia e o raio polar de giração do trapézio ilustrado em relação ao ponto P 1 .

Passo 1

Alô Alô, galerinha do responde ai, tudo bem?

Bora lá

Então já iremos iniciar com o diagrama

Vamos calcular o momento de inércia do retângulo ABCD em relação ao eixo x

I x 1 = 1 3 2 a a 3

I x 1 = 2 a 4 3

Vamos calcular o momento de inércia do retângulo BCF em relação ao eixo x

I x 2 = 1 12 a 2 a 3

I x 2 = a 4 24

Vamos calcular o momento de inércia do retângulo ADE em relação ao eixo x

I x 3 = 1 12 a 2 a 3

I x 3 = a 4 24

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia da área sombreada em torno do eixo x.

I x = I x 1 + I x 2 + I x 3

= 2 a 4 3 + a 4 24 - a 4 24

= 2 a 4 3 - a 4 12

I x = 7 12 a 4

Vamos calcular o momento de inércia do retângulo ABCD em relação ao eixo y

I y 1 = 1 12 2 a 3 a

= 2 a 4 3

Suponhamos que a equação da linha BF como,

y = m x + c

As coordenadas do ponto F são

y = 0

x = a 2

Substituindo as coordenadas do ponto F da equação (1) e determinaremos a relação para constante

0 = m a 2 + c

c = - m a 2

Passo 3

As coordenadas do ponto B são

y = a

x = a

Substituindo

a = m a - m a 2

a = m a 2

m = 2

Portanto, a constante é

c = - m a 2

= - 2 a 2

c = - a

Finalmente a equação torna – se

y = 2 x - a

Calculando o momento de inércia do triângulo BCF em torno do eixo y, temos

I y 2 = ∫ a / 2 a x 2 d A

= ∫ a / 2 a x 2 ( y d x )

= ∫ a / 2 a x 2 2 x - a d x

= ∫ a / 2 a 2 x 3 - a x 2 d x

I y 2 = 2 x 4 4 - a x 3 3 a / 2 a

= 2 a 4 4 - a a 3 3 - 2 a 2 4 4 + a a 2 3 3  

I y 2 = 17 a 4 96

Passo 4

Por simetria da figura, o momento de inércia do triângulo ADE em relação ao eixo y, temos

I y 3 = 17 a 4 96

O momento de inércia da área sombreada em torno do eixo y, é

I y = I y 1 + I y 2 + I y 3

= 2 a 4 3 - 17 a 4 96 - 17 a 4 96

= 15 a 4 48

Calcularemos o momento polar de inércia da área sombreada em relação ao ponto P

J P = I x + I y

= 7 a 4 12 + 15 a 4 48

= 43 48 a 4

Portanto, o momento polar de inércia da área sombreada em relação ao ponto Pé 43 48 a 4

Passo 5

Calculando a área da seção

A = a 2 a - 1 2 a 2 a - 1 2 a 2 ( a )

= 3 2 a 2

Além disso, o momento polar de inércia da área sombreada é

J P = A k P 2

43 48 a 4 = 3 2 a 2 k P 2

k P 2 = 43 a 2 48 2 3 a 2

k P = 0.773 a

Portanto, o raio polar de giração da área sombreada em relação ao ponto P é 0.773 a .

Resposta

Portanto, o momento polar de inércia da área sombreada em relação ao ponto P é

43 48 a 4

Portanto, o raio polar de giração da área sombreada em relação ao ponto P é 0.773 a .