Enunciado

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos u e v.

Passo 1

Fala, querido! Ele quer os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a esses eixos inclinados. Mas a nossa figura é bem simples em relação a x e y .

Então o que a gente vai fazer é calcular os momentos e produto para x e y . E depois jogar nas fórmulinhas para achar esses valores para um rotação dos eixos que nos dê u e v .

Desenho:

Passo 2

Vamos calcular inicialmente os momentos de inércia I x e I y . Como temos um seção retangular:

I x = 1 12 × 300 × 600 3 I x = 54 × 10 8   m m 4

I y = 1 12 × 600 × 300 3 I y = 13,5 × 10 8   m m 4

Percebe que a gente deixa sem o expoente quem é o comprimento do segmento do retângulo que é paralelo ao eixo em questão.

A seção transversão retangular é simétrica em relação ao eixo x, então I x y = 0

Passo 3

Calculando o produto de inércia em relação ao novo sistema de coordenadas, vamos usar a fórmulinha: I u = I x + I y 2 + I x - I y 2 c o s 2 θ - I x y s e n 2 θ

Para chegar no novo sistema de coordenadas, vamos girar x um ângulo de θ = 30 ° no sentido anti-horário. Então vai ser um ângulo positivo. Aí substituindo na fórmulinha

I u = 54 × 10 8 + 13,5 × 10 8 2 + 54 × 10 8 - 13,5 × 10 8 2 cos ⁡ 2 ⋅ 30 - 0 ⋅ s e n 2 ⋅ 30 I u = 43,9 × 10 8   m m 4

A fórmulinha para um eixo perpendicular a u (o nosso v ) vai ser I v = I x + I y 2 - I x - I y 2 c o s 2 θ + I x y s e n 2 θ

Percebe que mudam alguns sinais, mais θ = 30 ° , porque ele é medido em relação a u . Substituindo: I v = 54 × 10 8 + 13,5 × 10 8 2 - 54 × 10 8 - 13,5 × 10 8 2 c o s ⁡ ( 2 ⋅ 30 ) + 0 s e n 2 ⋅ 30 I v = 23,6 × 10 8   m m 4

E para o produto de inércia nós usamos:

I u v = I x - I y 2 s e n ( 2 θ ) + I x y cos ⁡ 2 θ I u v = 54 × 10 8 - 13,5 × 10 8 2 s e n 60 º + 0 ⋅ cos ⁡ 60 º I u v = 17,5 × 10 8 m m 4

Resposta

I u = 43,9 × 10 8   m m 4

I v = 23,6 × 10 8   m m 4

I u v = 17,5 × 10 8 m m 4

Ver Outros Exercícios desse livro