Enunciado

Determine o produto de inércia para a área em relação aos eixos x   e y .

Passo 1

Cara, para calcular o produto de inércia dessa figura, vamos ter que calcular uma integralzinha. Mas tem um passo a passo para montar ela. Vem que vai dar bom!

Vamos começar pegando um retângulo bem fininho paralelo a x   (com espessura d y ), contido na nossa área. O chamamos de elemento diferencial. Na nossa figura que será dado por

Percebe que a largura dele é b - x , então a área dele d A   é dada por:

d A = b - x ⋅ d y

Guarda isso, que a gente vai precisar. Vamos seguir!

Passo 2

O produto de inércia desse elemento diferencial em relação aos eixos x   e   y pode ser determinado usando o teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia

d I x y = d I - x ' y ' + d A   x - y -  

Onde x -   e   y - representam a localização do centroide do nosso elemento.

Como temos um retângulo, uma figura simétrica, o termo d I - x ' y ' zera. Sendo assim, vamos substituir os dados que já temos na equação acima, de tal modo que obteremos

d I x y = 0 + b - x d y ⋅ x - y -   i

Passo 3

Precisamos achar esses x - e y - . O centroide do retângulo é no centro dele. Vamos ver as coordenadas desse centro na figura:

Daí

x - = x + b - x 2

y - = y

E nosso produto de inércia fica:

d I x y = 0 + b - x d y ⋅ x + b - x 2 ⋅ y

d I x y = 1 2 ⋅ b 2 - x 2 ⋅ y d y     i

Mas como a gente tem um d y , precisamos que tudo esteja em função de y . Da equação dada na imagem temos que

x = b y 3 h 3 → x 2 = b 2 y 6 h 6

Assim, substituindo em i vamos encontrar

d I x y = 1 2 ⋅ b 2 y - b 2 y 7 h 6 d y

Passo 4

Pronto, agora basta integrarmos de 0 até a altura da nossa figura que é h , que é o intervalo onde nossa área está em relação a y , assim, vamos obter como resultado

I x y = 1 2 ⋅ ∫ 0 h b 2 y - b 2 y 7 h 6 d y = 1 2 ⋅ b 2 y 2 2 - b 2 y 8 8 h 6 0 h =

I x y = 1 2 ⋅ b 2 h 2 2 - b 2 h 8 8 h 6

Onde, finalmente, chegamos em

I x y = 3 16 ⋅ b 2 h 2

E está resolvido o nosso problema.

Resposta

I x y = 3 16 ⋅ b 2 h 2

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