Determine os raios de giração k x e k y para o sólido formado girando a área sombreada em torno do eixo y. A densidade do material é ρ.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine os raios de giração k x e k y para o sólido formado girando a área sombreada em torno do eixo y. A densidade do material é ρ.

Para k y A massa do elemento diferencial é d m = ρ d V = ρ π x 2 d y = ρ π d y y 2

d I y = 1 2 d m x 2 = 1 2 ρ π d y y 2 d y 1 y 2 = 1 2 ρ π d y y 4 d y

I y = ∫ d I y = 1 2 ρ π ∫ 0.25 4   d y y 4 + 1 2 ρ ( π ) ( 4 ) 2 ( 0.25 ) ( 4 ) 2 = 134.03 ρ

Passo 2

Portanto

m = ∫ m   d m = ρ π ∫ 0.25 4   d y y 2 + ρ π ( 4 ) 2 ( 0.25 ) = 24.35 ρ

Por isso

k y = I y m = 134.03 ρ 24.35 ρ = 2.35 f t

Para k x : 0.25 f t < y ≤ 4 f t

d I x ' = 1 4 d m x 2 + d m y 2

= 1 4 ρ π d y y I y 2 + ρ π d y y 2 = ρ π 1 4 y 4 + 1 d y

I x ' = ∫ d I x ' = ρ π ∫ 0.25 4   1 4 y 4 + 1 d y = 28.53 ρ

I ' ' . x = 1 4 ρ π ( 4 ) 2 ( 0.25 ) ( 4 ) 2 + ρ π ( 4 ) 2 ( 0.25 ) ( 0.125 ) 2

= 50.46 ρ

I x = I x ' + I x ' ' = 28.53 ρ + 50.46 ρ = 78.99 ρ

Por isso

k x = I x m = 78.99 ρ 24.35 ρ = 1.80 f t

Resposta

k y = 2.35 f t k x = 1.80 f t