Determine as reações de apoio dos pórticos planos esquematizados na próxima figura.

Passo 1

Temos uma reação horizontal e uma reação vertical em cada um dos apoios A e B. Felizmente, a rótula em C nos dá uma equação horizontal e o sistema pode ser resolvido. Assim, vamos calcular o momento do pórtico em relação ao ponto A e o momento de BC no ponto B. A reação horizontal H B está aplicada a 0 de distância de vertical A (logo, seu momento não contribui no ponto A ) e 1,6   m + 3,4   m = 5 m de distância vertical de C. A reação R B está tem uma distância horizontal de 2,4   m e 4,8   m de C e A, respectivamente. Também temos uma força vertical de 30   k N a 2,4   m de A.

Além disso, temos uma força vertical de 30   k N na rótula C e duas forças uniformemente distribuídas. A primeira força é totalmente horizontal e corresponde a aplicarmos uma força de 20   k N / m ⋅ 3,4 m = 68   k N aplicada em y = 3,4 m / 2 = 1,7 m .

A segunda força tem módulo 15   k N / m e está aplicada numa viga de comprimento igual a l = ( 2,4   m ) 2 + ( 1,6   m ) 2 = 8,32   m 2 ≈ 2,88   m . Assim, essa força é equivalente a aplicar uma força de 15   k N / m ⋅ 2,88 m = 43 , 2   k N aplicada no centro dessa viga (cujas coordenadas são x = 1,2   m e y = 3,4   m + 0,8   m = 4,2   m ). Além disso, essa força terá uma componente vertical e uma horizontal, que iremos calcular no próximo passo.

Passo 2

Resta saber qual o ângulo entre a força equivalente e o eixo x . O ângulo da viga é dado por

θ = a r c t a n ( 1,6   m 2,4   m ) = a r c t a n ( 0,67 )   ≈ 33,8   °

Isso quer dizer que a força faz um ângulo de π 2 - θ = 90 ° - 33,8   ° = 56,2 ° . Assim, sua decomposição em x e y é dada por

F → 2 =   43,2   k N   c o s   ( 56,2 ° ) i ^ - 43,2   k N   s e n   ( 56,2 ° ) j ^ = 43,2   k N ⋅ 0,556   i ^ - 43,2   k N   ⋅ 0,831   j ^

F → 2 =   24   k N   i ^ - 35,9   k N   j ^ ,

onde o sinal negativo na componente vertical vem do fato dessa força apontar para baixo.

Passo 3

Agora, podemos calcular as equações de equilíbrio. Começamos por

∑ M A A B C = R B ⋅ 4,8   m - 30   k N ⋅ 2,4   m - 35,9   k N ⋅ 1,2   m - 24   k N   ⋅ 4,2   m - 68   k N   ⋅ 1,7 m = 0

⇒ R B ⋅ 4,8   m = 331,48   k N m   ⇒ R B = 331,48   k N m 4,8   m = 69,06   k N

O resultado anterior pode ser substituído na segunda equação para os momentos:

∑ M C B C =   R B ⋅ 2,4 m + H B ⋅ 5 m = 0   ⇒ H B = - 0,48   R B = - 0,48   ⋅ 69,06   k N = - 33,15   k N  

Agora, vamos utilizar as equações de equilíbrio vertical e horizontal para obter as demais reações:

∑ F X = H A + H B + 68   k N + 24   k N = 0

⇒ H A = - H B - 92   k N = 33,15   k N - 92   k N =   - 58,85   k N

∑ F Y = R A + R B - 30   k N - 35,9   k N = 0

⇒ R A = - R B + 65,9   k N =   - 69,06   k N + 65,9   k N =   - 3,16   k N

Resposta

H A =   - 58,85   k N

H B = - 33,15   k N

R A =   - 3,16   k N

R B = 69,06   k N