Determine as reações de apoio das vigas representadas na próxima figura.

Passo 1

Vamos calcular os momentos com relação a A. Além das reações em A, uma reação vertical e uma horizontal ( H A = 0 ), e uma reação vertical no apoio B (a uma distância l de A), temos a resultante da força distribuída

R = ∫ 0 l p d x = p 0 ∫ 0 l s e n   ( π x / l ) d x = - p 0 l π c o s   ( π x / l ) | 0 l = - p 0   l π ( c o s   ( π ) - c o s 0 ) = 2   p 0   l π

aplicada no ponto

x = ∫ 0 l p x   d x ∫ 0 l p d x = p 0   ∫ 0 l x s e n   ( π x / l )   d x p 0   ∫ 0 l s e n   ( π x / l )   d x .

A integral do numerador é resolvida depois de da mudança de variáveis u = π x / l , d u = π / l   d x e integração por partes:

∫ 0 l x s e n   ( π x / l )   d x = l 2 π 2 ∫ 0 π u   s e n   ( u )   d u = l 2 π 2 [ - u c o s   u | 0 π + ∫ 0 π c o s   ( u )   d u ] = l 2 π 2 ( π - s e n   u | 0 π ) = l 2 π

Assim, a força 2   p 0   l π é aplicada no ponto

x = l 2 / π 2 l / π = l 2 .

Passo 2

Agora, aplicamos as equações de equilíbrio:

∑ M A = R B ⋅ l - 2   p 0   l π ⋅ l 2 = R B ⋅ l -   p 0   l 2 π = 0   ⇒ R B =   p 0   l π .

∑ F Y = R A + R B - 2   p 0   l π = 0 ⇒ R A = - R B + 2   p 0   l π = -   p 0   l π + 2   p 0   l π =   p 0   l π

Resposta

H A = 0

R A =   R B =   p 0   l π .