Determine as reações de apoio das vigas representadas na próxima figura.

Passo 1

A maior dificuldade nessa questão é determinar as resultantes das forças uniformemente distribuídas da forma mais simples possível. Assim, vamos calcular os momentos em relação ao ponto B porque, nesse caso, não precisamos determinar a força resultante em ambos os lados de A. A reação R A está a 7 m de distância de B. Temos um momento concentrado de 5   k N ⋅ m .

A força distribuída é triangular entre x = 0 e x = 4 m e uniformemente distribuída entre x = 4 m e x = 8 m :

  • A parte triangular pode ser escrita como p = p 0 x / l onde p 0 é o módulo máximo e l é o comprimento no qual a força está distribuída. Nesse caso, a força resultante é

R = ∫ 0 l p d x = p 0 l ∫ 0 l x d x = p 0 l x 2 2 | 0 l = p 0 l l 2 2 = p 0   l 2

aplicada num ponto

x = ∫ 0 l p x   d x ∫ 0 l p d x = p 0 l x 3 3 | 0 l p 0   l 2 = p 0   l 2 3 p 0   l 2 = 2 l 3 .

Assim, aplicando p 0 = 20   k N / m e l = 4 m , obtemos uma resultante p 0   l 2 = 20   k N / m ⋅ 4 m 2 = 40   k N , aplicada no ponto x = 2 l 3 = 2 ⋅ 4 m / 3 = 2,67 m . Esse ponto está a uma distância 7 m - 2,67 m = 4,33 m do ponto de apoio B.

  • A força uniformemente distribuída p = p 0 tem resultante

R = ∫ 0 l p d x = p 0 ∫ 0 l d x = p 0   l

em

x = ∫ 0 l p x   d x ∫ 0 l p d x = p 0 l 2 2 p 0 l = l 2 .

Nesse caso, temos que considerar a resultante dessa força uniformemente distribuída à direita e à esquerda de B. À direita, temos   l = 3 m . Logo, a resultante é 20   k N / m ⋅ 3 m = 60   k N aplicada a uma distância 1,5 m de B. À esquerda, temos uma resultante de 20   k N / m ⋅ 1 m = 20   k N aplicada a 0,5 m de distância de B. Na equação de equilíbrio das forças, iremos utilizar a força total resultante de 80   k N . O diagrama de corpo livre está esquematizado abaixo:

Passo 2

Agora podemos aplicar as equações de equilíbrio

∑ M B = - R A ⋅ 5 m + 40   k N ⋅ 4,33   m + 10   k N ⋅ 7 m + 60   k N ⋅ 1,5   m - 20   k N ⋅ 0,5 m - 5   k N m = 0

⇒ R A ⋅ 5 m = 318,2   k N m

R A = 318,2   k N m 5 m = 63,6   k N

∑ F Y = R A + R B - 10 k N - 40   k N - 80   k N = 0

⇒ R B = - R A + 130   k M = - 63,6     k N + 130 k N = 66,4   k N

Resposta

H A = 0

R A = 63,6   k N

R B = 66,4   k N