m = 2 k g , k = 10,000 N m  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
 
 
 k m = 10000 2 = 70.7107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
  
 
 
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
  
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 [ m ] = 2 1         0         0   0         2         0   0         0         3    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
 
 [ k ] = 10 4 3         - 2         0   - 2         5         - 3   0         - 3         3    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
 
A partir da solução do Problema 6.46, encontramos as frequências naturais e formas modais como:
 ω 1 = 0.337627 k m ; ω 2 = 1.414221 k m ; ω 3 = 2.094278 k m  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
  
  
 
 
 
 
 
Ou 
 ω 1 = 23.8738 r a d / s e c ; ω 2 = 100.000 r a d / s e c ; ω 3 = 148.0879 r a d / s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 X → ( 1 ) = a 1.0   1.4430   1.6286   ; X → ( 2 ) = b 1.0   0.5   - 0.5   ; X → ( 3 ) = c 1.0   - 0.6930   0.2047    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
 
 
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
 
 
Ortonormalização de modos:
 x → ( 1 ) τ [ m ] X → ( 1 ) = 26.2430 a 2 = 1   o u   z = 0.1952 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 X → ( 2 ) τ [ m ] X → ( 2 ) = 4.5 b 2 = 1   o u   b = 0.4714 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 X → ( 3 ) τ ⋅ [ m ∣ X → ( 3 ) = 4.1724 c 2 = 1   o u   c = 0.4896 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
Matriz modal
 [ X ∣ = X → ( 1 )         X → ( 2 )         X → ( 3 )   = 0.1952         0.4714         0.4896   0.2817         0.2357         - 0.3393   0.3179         - 0.2357         0.1002    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  
 
 
 
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
 
 (1)
 F → ( t ) = F 1 ( t )   0   0    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
 
 
 (2)
 Q → ( t ) = [ X ] T F → ( t ) = 0.1952 F 1 ( t )   0.4714 F 1 ( t )   0.4896 F 1 ( t )    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
 
  
 
 
 (3)
Solução de qi (t) sem condições iniciais:
 q i ( t ) = 1 ω I ∫ 0 t   Q i ( τ ) s i n  ω I ( t - τ ) d τ ; i = 1,2 , 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
 (4)
 F 1 ( t ) = F 0 u ( t ) - u t - t 0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
Em que  
 F 0 = 1000   N , t 0 = 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 , and 
 u ( t ) 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
  and 
 u t - t 0  
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
 
  são funções de etapa da unidade:
 u ( t ) = { 0         ; t < 0   1         ; t > t 0   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 u t - t 0 = { 0         ; t < t 0   1         ; t > t 0   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
 
 
 
Eq(3) dão
 Q → ( t ) = Q 1 ( t )   Q 2 ( t )   Q 3 ( t )   = 195.2 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }   471.4 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }   489.6 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
 
  
 
 
 (5)
E eq(4) rende
 q 1 ( t ) = 0.342 5 ( 1 - c o s  23.8738 t ) ; 0 < t ≤ 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 = 0.3425 [ c o s  23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s  23.8738 t ] ; t ≥ 0.25   s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 q 2 ( t ) = 0.04714 ( 1 - c o s  100.0006 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 = 0.04714 [ c o s  100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s  100.0006 t ] t ≥ 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 q 3 ( t ) = 0.02232 ( 1 - c o s  148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
 = 0.02232 [ c o s  148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s  148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
  
 
 
O deslocamento físico das massas é
 x → ( t ) = ( X ] q → ( t )