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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 12

Determine a solução complementar para o Exemplo 13.2.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

A solução que temos no exemplo 13.2 é:

η s ' ' + D ρ η s ' + s 2 π 2 τ ρ b   η s = 0

Que é uma EDO de segunda ordem a coeficientes constantes. O que já conhecemos por uma técnica de solução.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos uma técnica para a EDO:

x ' ' + 2 β x ' + ω 0 2 x = 0

Assim, estabeleçamos:

D ρ = 2 β

s 2 π 2 τ ρ b = ω 0 2

Passo 3

Agora façamos:

η s ' ' + 2 β η s ' + ω 0 2   η s = 0

Introduzamos η s = e λ t , de forma que η S ' = λ e λ t e η s ' ' = λ 2 e λ t

Assim, temos:

e λ t λ 2 + 2 β λ + ω 0 2 = 0

Que é uma equação de segundo grau, assim:

λ = - 2 β ± 4 β 2 - ω 0 2 2 = - β ± β 2 - ω 0 2

A solução final é do tipo:

η s t = e - β t A     e λ 1 t + b   e λ 2 t

Substituindo os valores, temos:

η 2 t = e - D   t 2 ρ A     e D 2 4 ρ 2 - s 2 π 2 τ ρ b t + B   e - D 2 4 ρ 2 - s 2 π 2 τ ρ b   t

Resposta

η 2 t = e - D   t 2 ρ A     e D 2 4 ρ 2 - s 2 π 2 τ ρ b t + B   e - D 2 4 ρ 2 - s 2 π 2 τ ρ b   t