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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Gere, Mecânica dos Materiais- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 13

Determine a tensão de tração máxima σ t (devido à flexão pura por momentos fletores positivos M) para vigas com seções transversais como segue (veja a figura): (a) semicírculo de diâmetro d; (b) um trapezoide isósceles com as bases b 1 = b   e   b 2 = 4 b / 3 e altura h .

Passo 1

Fala meus queridx’sss

  1. Vamos obter as propriedades geométricas do semicírculo do apêndice D, propriedades das áreas planas neste livro texto.

    O momento de inércia em relação ao eixo neutro é

    I = 9 π 2 - 64 r 4 72 π

    A localização do eixo neutro do eixo do diâmetro é

    c = 4 r 3 π

    Passo 2

    Determinaremos a tensão máxima de tração devido ao momento fletor positivo na seção transversal semicircular usando a expressão

    σ t = M c I

    Iremos substituir o I e o c que achamos no passo anterior, nessa nova expressão, e iremos obter :

    σ t = M 4 r 3 π 9 π 2 - 64 r 4 72 π

    σ t = 3.8668 M r 3

    Substituindo d / 2 por r

    σ t = 3.8668 M d 2 3

    σ t = 30.93 M d 3

    Portanto a tensão máxima de tração devido ao momento fletor positivo na seção transversal semicircular é de     σ t = 30.93 M d 3 .

    Passo 3

  2. Iremos obter as propriedades geométricas da seção trapezoidal do apêndice D, propriedades áreas planas neste livro texto.

O momento de inércia em relação ao eixo neutro é

I = h 3 b 1 2 + 4 b 1 b 2 + b 2 2 36 b 1 + b 2

Substituindo   b   p o r   b 1   e 4 b 3   p o r   b 2

I = h 3 b 2 + 4 b × 4 b 3 + 4 b 3 2 36 b + 4 b 3

I = 73 b h 3 756

A localização do eixo neutro da fibra inferior é

c = h 2 b 1 + b 2 3 b 1 + b 2

Substituindo   b   p o r   b 1   e 4 b 3   p o r   b 2

c = h 2 b + 4 b 3 3 b + 4 b 3

c = 10 h 21

Passo 2

Determinaremos a tensão máxima de tração devido ao momento fletor positivo na seção transversal trapezoidal usando a relação

σ t = M c I

Substituindo 10 h 21 por c e 73 b h 3 756 por I

Iremos obter

σ t = M 10 h 21 73 b h 3 756

σ t = 360 M 73 b h 2

Portanto, a tensão de tração máxima devido ao momento fletor positivo na seção transversal trapezoidal é de   σ t = 360 M 73 b h 2   .

Resposta

  1. Portanto a tensão máxima de tração devido ao momento fletor positivo na seção transversal semicircular é de     σ t = 30.93 M d 3 .

  2. Portanto, a tensão de tração máxima devido ao momento fletor positivo na seção transversal trapezoidal é de   σ t = 360 M 73 b h 2   .