O disco gira em torno do eixo S, enquanto o eixo gira em torno do eixo z a uma taxa de ω z = 4 r a d / s , que está aumentando a 2 r a d / s 2 .. Determine a velocidade e a aceleração do ponto B do disco no instante mostrado. Não ocorre deslizamento.

Passo 1

Velocidade angular. O eixo instantâneo de velocidade zero (IA) é indicado na Fig. a. Aqui a velocidade angular resultante é sempre direcionada ao longo de IA. O quadro de referência XYZ fixo é definido para coincidir com o quadro xyz rotativo.

ω = ω 1 + ω 2

5 26 ω i - 1 26 ω k = - 4 k + ω 2 i

Equacionando componentes k e i

- 1 26 ω = - 4                 ω = 4 26 r a d / s

5 26 ( 4 26 ) = ω 2                 ω 2 = 20 r a d / s

Assim ω = 5 26 ( 4 26 ) i - 1 26 ( 4 26 ) k = { 20 i - 4 k } r a d / s

Passo 2

Aceleração angular. A direção de ω_2 não muda com referência ao quadro giratório xyz se este quadro girar com   Ω = ω 1 = { - 4 k } r a d / s . Aqui

ω ˙ 2 x y z ω ˙ 1 x y z = 5 1 ;   ω ˙ 2 x y z = 5 ω ˙ 1 x y z = 5 ( 2 ) = 10 r a d / s 2

Portanto

ω ˙ 2 = ω ˙ 2 x y z + Ω × ω 2

= 10 i + ( - 4 k ) × ( 20 i ) = { 10 i - 80 j } r a d / s 2

Como a direção de ω 1 não mudará, sempre será ao longo do eixo z quando Ω = ω 1 , então

ω ˙ 1 = ω ˙ 1 x y z + ω 1 × ω 1 ω ˙ 1 = ω ˙ 1 x y z = { - 2 k } r a d / s 2

Passo 3

Finalmente

α = ω ˙ 1 + ω ˙ 2

= - 2 k + ( 10 i - 80 j ) = { 10 i - 80 j - 2 k } r a d / s 2

Velocidade e aceleração   r B = { 0.5 i - 0.1 j } m

v B = ω × r B = ( 20 i - 4 k ) × ( 0.5 i - 0.1 j )

= { - 0.4 i - 2 j - 2 k } m / s

a B = α × r B + ω × ω × r B

= ( 10 i - 80 j - 2 k ) × ( 0.5 i - 0.1 j ) + ( 20 i - 4 k ) × ( - 0.4 i - 2 j - 2 k )

= { - 8.20 i + 40.6 j - k } r a d / s 2

Resposta

v B = { - 0.4 i - 2 j - 2 k } m / s a B = { - 8.20 i + 40.6 j - k } r a d / s 2