O disco gira em torno do eixo S, enquanto o eixo gira em torno do eixo z a uma taxa de ω z = 4 r a d / s , que está aumentando a   2 r a d / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do ponto A do disco no instante mostrado. Não ocorre deslizamento.

Passo 1

Velocidade angular. O eixo instantâneo de velocidade zero (IA) é indicado na Fig. a, Aqui, a velocidade angular resultante é sempre direcionada ao longo de IA. O quadro de referência XYZ fixo é definido para coincidir com o quadro xyz rotativo.

ω = ω 1 + ω 2

5 26 ω i - 1 26 ω k = - 4 k + ω 2 i

Igualando os componentes k e i

- 1 26 ω = - 4                   ω = 4 26 r a d / s

5 26 ( 4 26 ) = ω 2               ω 2 = 20 r a d / s

Portanto ω = 5 26 ( 4 26 ) i - 1 26 ( 4 26 ) k = { 20 i - 4 k } r a d / s

Passo 2

Aceleração angular. A direção de ω 2 não muda com referência ao quadro giratório xyz se este quadro girar com Ω = ω 1 = { - 4 k } r a d / s . Então

ω ˙ 2 x y z ω ˙ 1 x y z = 5 1 ; ω ˙ 2 x y z = 5 ω ˙ 1 x y z = 5 ( 2 ) = 10 r a d / s 2

Portanto

ω ˙ 2 = ω ˙ 2 x y z + Ω × ω 2

= 10 i + ( - 4 k ) × ( 20 i ) = { 10 i - 80 j } r a d / s 2

Como a direção de ω1 não mudará, sempre será ao longo do eixo z quando Ω = ω 1 ,

ω ˙ 1 = ω ˙ 1 x y z + ω 1 × ω 1 ω ˙ 1 = ω ˙ 1 x y z = { - 2 k } r a d / s 2

Passo 3

Por fim

α = ω ˙ 1 + ω ˙ 2

= - 2 k + 10 i - 80 j = { 10 i - 80 j - 2 k } r a d / s 2

Velocidade e aceleração: r A = { 0.5 i + 0.1 k } m

v A = ω × r A = ( 20 i - 4 k ) × ( 0.5 i + 0.1 k )

= { - 4.00 j } m / s

a A = α × r A + ω × ω × r A

= ( 10 i - 80 j - 2 k ) × ( 0.5 i + 0.1 k ) + ( 20 i - 4 k ) × ( - 4.00 j ) = { - 24 i - 2 j - 40 k } m / s 2

Resposta

v A = { - 4.00 j } m / s a A = { - 24 i - 2 j - 40 k } m / s 2