O disco gira em torno do eixo z a uma taxa constante ω z = 0.5 r a d / s sem escorregar no plano horizontal. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A no disco.

Passo 1

Velocidade Angular: Os eixos de coordenadas para o quadro fixo (X,Y,Z) e o quadro rotativo (x,y,z) no instante mostrado são definidos para serem coincidentes. Assim, a velocidade angular do disco neste instante (com referência a X,Y,Z ) pode ser expressa em termos de componentes i,j,k. Como o disco rola sem escorregar, então sua velocidade angular ω = ω s + ω z é sempre direcionada ao longo do eixo instantâneo de velocidade zero (eixo y). Desta forma,

ω = ω s + ω z

- ω j = - ω s c o s ⁡ 30 ∘ j - ω s s i n ⁡ 30 ∘ k + 0.5 k

Igualando as componentes k e j, temos

0 = - ω s sin ⁡ 30 ∘ + 0.5                 ω s = 1.00 r a d / s

- ω = - 1.00 cos ⁡ 30     ∘                   ω = 0.8660 r a d / s

Passo 2

Aceleração Angular: A aceleração angular α será determinada investigando a taxa de tempo de mudança da velocidade angular em relação ao referencial XYZ fixo. Como ω sempre está no plano X-Y fixo, então ω={-0,8660j}rad/s é observado como tendo uma direção constante a partir do quadro xyz girando se este quadro estiver girando em   Ω = ω z = { 0.5 k } r a d / s . Aplicando a Eq. 20-6 com ( ω ˙ ) x y z = 0 , temos

α = ω ˙ = ( ω ˙ ) x y z + ω z × ω = 0 + 0.5 k × ( - 0.8660 j ) = { 0.4330 i } r a d / s 2

Passo 3

Velocidade e Aceleração: Aplicando as Eqs. 20-3 e 20-4 com ω e α obtidos acima r A = 0.3 - 0.3 c o s ⁡ 60 ∘ j + 0.3 s i n ⁡ 60 ∘ k m = { 0.15 j + 0.2598 k } m , temos

v A = ω × r A = ( - 0.8660 j ) × ( 0.15 j + 0.2598 k ) = { - 0.225 i } m / s

a A = α × r A + ω × ω × r A

= ( 0.4330 i ) × ( 0.15 j + 0.2598 k )

+ ( - 0.8660 j ) × [ ( - 0.8660 j ) × ( 0.15 j + 0.2598 k ) ]

= { - 0.1125 j - 0.130 k } m / s 2

Resposta

v A = { - 0.225 i } m / s a A = { - 0.1125 j - 0.130 k } m / s 2