Um disco homogêneo de raio R e massa M rola sem escorregar sobre uma superfície horizontal e é atraído para um ponto a uma distância d abaixo do plano. Se a força de atração é proporcional à distância do centro de massa do disco ao centro de força, determine a frequência de oscilações em torno da posição de equilíbrio.

Passo 1

Conforme a figura a força entre o centro de força e o disco é:

F → = - k r →

Passo 2

Apenas a componente no eixo x execerce trabalho, logo a força resultante:

F x =   - k r ∙ s e n ϕ = - k x

E isso corresponde a uma energia potencial U = k x 2 2 , daí a energia cinética do disco será:

T = 1 2 M x ˙ 2 + 1 2 I θ ˙ 2 = 3 4 M x ˙ ²

Passo 3

Onde nós usaremos o resultado I = M R 2 2 para um disco e d x = R d θ . A equação de Lagrange nos dá:

3 2 M x ¨ + k x = 0

Resposta

E esse é um movimento harmônico simples sobre x = 0 com uma frequência angular de oscilação no valor de:

ω = 2 k 3 m