Um disco de massa M e raio -R roda sem deslizamento para baixo de um plano inclinado da horizontal por um ângulo α . O disco tem um eixo curto sem peso de raio irrelevante. A partir deste eixo, é suspenso um pêndulo simples de comprimento l < R e cujo peso tem uma massa m. Considere que o movimento do pêndulo acontece no plano do disco e encontre as equações de Lagrange para o sistema.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Façamos um esboço da situação dita no enunciado:

Onde ξ é o comprimento da distancia entre o ponto inicial e até onde a o centro do disco está.

Então as coordenadas para o disco é:

x = ξ cos ⁡ α

y = ξ sin ⁡ α

E para o pendulo:

x = l sin ⁡ ϕ + ξ cos ⁡ α

y = l cos ⁡ ϕ - ξ sin ⁡ α

Então vamos escrever a função lagrangiana?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Primeiro, vamos escrever a energia cinética:

T = T d i s c o + T p e n d u l o

No disco há a anergia de rotação

T = 1 2 M ξ ' 2 + 1 2 I θ ' 2 + 1 2 m x ' p e n d u l o 2 + y ' p e n d u l o 2

Assim:

T = 1 2 M + m ξ ' 2 + 1 2 I   θ ' 2 + 1 2 m   l 2   ϕ ' 2 +   m l   ϕ '   ξ ' cos ⁡ ϕ + α

E a energia potencial:

U = U d i s c o + U p e n d u l o

U = m g   y d i s c o + m g   y p e n d u l o = - M + m g   ξ sin ⁡ α - m g l cos ⁡ ϕ  

Passo 3

Bom, sabemos que ξ = R θ , e isso é bom porque reduz os graus de liberdade. O momento de inercia do disco é I = 1 2 M R 2

Assim, a lagrangiana é:

L = T - U

L = 3 4 M + 1 2 m ξ ' 2 + 1 2 m   l 2   ϕ ' 2 + m l ϕ ' ξ ' cos ⁡ ( ϕ + α ) + M + m g   ξ sin ⁡ α + m g   l cos ⁡ ϕ

E a matriz de equação de movimento para as coordenadas ξ e θ

∂ L ∂ θ   - d d t ∂ L ∂ θ ' = 0 ∂ L ∂ ξ   - d d t ∂ L ∂ ξ ' = 0

De onde temos:

3 2 M + m ξ ' ' - M + m   g sin ⁡ α +   m l ϕ ' ' cos ⁡ ϕ + α - ϕ ' 2 sin ⁡ ϕ + α = 0

ϕ ' ' + 1 l ξ ' ' cos ⁡ ϕ + α + g l sin ⁡ ϕ = 0

Resposta

3 2 M + m ξ ' ' - M + m   g sin ⁡ α +   m l ϕ ' ' cos ⁡ ϕ + α - ϕ ' 2 sin ⁡ ϕ + α = 0

ϕ ' ' + 1 l ξ ' ' cos ⁡ ϕ + α + g l sin ⁡ ϕ = 0