Discuta os modos normais do sistema mostrado na Figura 12.D.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema apresentado, com o sentido adotado da aplicação da lei das malhas:

As equações do circuito de Kirchhoff, depois de diferenciar usando q ˙ = I , são:

L 1 I ¨ 1 + 1 C 1 + 1 C 1 2 I 1 - 1 C 12 I 2 = 0   e   L 2 I ¨ 2 + 1 C 2 + 1 C 12 I 2 - 1 C 12 I 1 = 0

Usando uma dependência de tempo harmônico para I 1 t   e   I 2 ( t ) , a equação encontrada é:

L 1 ω 2 - C 1 + C 1 2 C 1 C 1 2 L 2 ω 2 - C 2 + C 12 C 2 C 12 = 1 C 12 2

Resolvendo para a frequência:

ω 2 = C 1 L 1 C 2 + C 12 + C 2 L 2 C 1 + C 12 ± C 1 L 1 C 2 + C 12 - C 2 L 2 C 1 + C 12 2 + 4 C 1 2 C 2 2 L 1 L 2 2 L 1 L 2 C 1 C 2 C 1 2

Como as frequências características são dadas por essa expressão complicada, examinamos os modos normais para o caso especial em que L1 = L2 = L e C1 = C2 = C. Então:

ω 1 2 = 2 C + C 12 L C C 12   e   ω 2 2 = 1 L C

Observe que ω2 corresponde ao caso de oscilações desacopladas. As equações para este circuito simplificado podem ser definidas da mesma forma que a Eq. (12.1), e consequentemente os modos normais podem ser encontrados da mesma forma que na Seção 12.2. Haverá dois modos possíveis de oscilação: (1) fora de fase, com frequência ω1, e (2) em fase, com frequência ω2.

O modo 1 corresponde às correntes I1 e I2 oscilando sempre fora de fase:

O modo 2 corresponde às correntes I1 e I2 oscilando sempre em fase:

(A analogia com dois osciladores acoplados por uma mola pode ser vista associando o caso 1 com a Fig. 12-2 para ω = ω1 e o caso 2 com a Fig. 12-2 para ω = ω2). Se agora temos L 1 ≠ L 2 e C 1 ≠ C 2 , não temos modos simétricos e antissimétricos puros, mas podemos associar ω2 com o modo de maior grau de simetria e ω1 com o de menor grau de simetria.

Resposta

Ver passo a passo.