Discuta o movimento de um fio quando as condições iniciais forem q x , 0 = 4 x L - x L 2 ,   q ' x , 0 = 0 . Encontre as frequências características e calcule a amplitude do n-ésimo modo.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como foi nos dado, a derivada de q com respeito ao tempo, ou seja, a velocidade é nula, temos das equações 13.8 a,b, que diz que:

μ r = 2 L ∫ 0 L q x , 0 sin ⁡ r π x L d x  

v r = 2 ω r L ∫ 0 L q ' x , 0 sin ⁡ r π x L d x

Assim:

μ r = 8 L 2 ∫ 0 L x L - x sin ⁡ r π x L d x =

16 r 3 π 3 1 - - 1 r

Assim,

]

μ r = 0 , s e   r   é   p a r 32 r 3 π 3 , s e   r   é   i m p a r

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Desse modo, temos que:

q x , t = ∑ r μ r sin ⁡ r π x L cos ⁡ ω r t

De forma que a amplitude do n-ésimo do modo é dado por μ r

Passo 3

A frequência característica não é novidade, é nos dada na equação 13.11:

ω r = n π L τ ρ

Resposta

q x , t = ∑ r μ r sin ⁡ r π x L cos ⁡ ω r t

Onde

μ r = 0 , s e   r   é   p a r 32 r 3 π 3 , s e   r   é   i m p a r

E:

ω r = n π L τ ρ